Zusammenänge zwischen einer Funktion und deren Ableitungen?

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2 Antworten

Hallo,

natürlich gibt es Zusammenhänge - sonst könnte man sich die Ableiterei ja auch sparen.

Die Ableitung einer Funktion gibt ihre jeweilige Steigung an oder auch die momentane Änderungsrate. Die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist gleich der Steigung der Tangenten, die an dieser Stelle an dem Funktionsgraphen anliegt.

Wenn der Funktionsgraph also nicht eine Gerade ist, sondern irgendeine Kurve, weist er natürlich unterschiedliche Steigungen auf. Da, wo er ein Maximum, ein Minimum oder einen Sattelpunkt hat, ist die Steigung Null, weil Du hier Tangenten anlegen kannst, die parallel zur x-Achse verlaufen.

Die zweite Ableitung, also die Ableitung der Ableitung, verrät Dir dann, um welche Art von Extremstelle es sich handelt.

Liegt ein Maximum vor, steigt eine Funktion zunächst, ist dann oben am Maximum flach (Steigung gleich Null) und fällt anschließend wieder. Es ist so, als würdest Du über eine Bergkuppe fahren.

Die erste Ableitung ist also vor der Extremstelle positiv, an der Extremstelle ist sie gleich Null und wird danach negativ. Sie fällt also vom Positiven ins Negative, hat also eine negative Steigung.

Bei einem Minimum ist es umgekehrt: Jetzt durchfährst Du eine Talsohle: Es geht zunächst berab, dann ist es flach, dann geht's wieder bergauf.

Die Ableitung ist also erst negativ, dann Null, dann positiv, hat also eine positive Steigung.

Dem Maximum einer Funktion entspricht also eine Nullstelle der ersten Ableitung und ein negativer Wert der zweiten Ableitung, dem Minimum entspricht ebenfalls eine Nullstelle der ersten Ableitung, aber ein positiver Wert der zweiten Ableitung.

Hast Du einen Sattelpunkt, geht es anfangs entweder zunächst bergauf, wird flacher, bis die Steigung Null ist, dann geht es weiter bergauf.

Die erste Ableitung ist also zuerst positiv, berührt dann die x-Achse und geht anschließend wieder ins Positive: Es liegt ein Minimum der ersten Ableitung vor, was bedeutet, daß die zweite Ableitung hier Null ist und die dritte Ableitung positiv.

Fällt die Funktion, wird flach und fällt dann erneut, hat die erste Ableitung hier ein Maximum, die zweite ist Null, die dritte ist negativ.

Bei einem Wendepunkt wird die Funktion nur für einen Moment flacher, hat aber nicht die Steigung Null. Die erste Ableitung hat hier - wenn die Funktion vor und nach dem Wendepunkt steigt, ein Minimum, ist aber nicht Null, die zweite hat eine Nullstelle, die dritte ist positiv.

Fällt die Funktion vor und nach dem Wendepunkt, hat die erste Ableitung ein Maximum, die zweite ist Null, die dritte ist negativ.

Herzliche Grüße,

Willy

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Setzt man f(x) gleich null, bekommt man die Nullstellen, also die Stellen an denen die Funktion die x-Achse schneidet.

Die Hoch und Tiefpunkte der Funktion f(x) haben die Steigung null. Wenn man sich in Gedanken eine Tangente an einen Hoch oder Tiefpunkt anlegt ist diese ja waagrecht. Die Ableitung zeigt die Steigung jedes einzelnen Punktes der Funktion f(x) und da f(x) an einem Hoch bzw Tiefpunkt die Steigung 0 hat, ist hier eine Nullstelle.

Auch die zweite ableitung f´´(x) hat Nullstellen. Das sind die Stellen an denen f´(x) seine Hoch und Tiefpunkte hat. Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind die Wende oder Sattelpunkte der Funktion f(x). 

Mehr Zusammenhänge kenne ich nicht und habe auch nicht mehr in der Schulmathematik gelernt.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

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