Frage von cese1998, 22

Zum Thema Ableitung bzw. Differenzieren in Mathe?

Wir haben jetz bald einen Test und ich bin krank weshalb ich mich online informieren muss. Ich habe mir schon alle möglichen Ableitungsregel angesehen jedoch bin ich mir oft nicht sicher.

Z.B: muss ich hier die Produkregel anwenden bzw. was wäre da das ergebnis?

f(x)= (5x^2 + 3x + 1) Wurzel(3x^2 + 4)

Und soll ich bei dieser ganz einfach die Quotientenregel anwenden? Kommt da nicht eine zu lange rechnung heraus?

        4x^6 -  6x + 10
       ---------------------
           (x^2  + 1 )^3
Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathematik, 22

f(x) = (4x^6-6x+10) / (x²+1)³

Wir setzen u(x) = 4x^6-6x+10 und v(x) = (x²+1)³.

Da f(x) = u(x) / v(x) gilt nach der Quotientenregel

f '(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]².

Mit u'(x) = 24x^5-6 und v'(x)=6x(x²+1)² folgt dann

f '(x) = [(24x^5-6)(x²+1)³-(4x^6-6x+10) * 6x(x²+1)²] / [(x²+1)³]² =

(x²+1)²[(24x^5-6)(x²+1)-6x(4x^6-6x+10)] / (x²+1)^6 =

[(24x^5-6)(x²+1)-6x(4x^6-6x+10)] / (x²+1)^4 =

[24x^7+24x^5-6x²-6-24x^7+36x²-60x] / (x²+1)^4 =

[24x^5+30x²-60x-6] / (x²+1)^4.

............

f(x)= (5x²+3x+1) Wurzel(3x²+4) =

(5x²+3x+1) (3x²+4)^(1/2).

Wir setzen u(x) = 5x²+3x+1 und v(x) = (3x²+4)^(1/2).

Dann ist u'(x) = 10x+3 und

v'(x) = 3x(3x²+4)^(-1/2) = 3x / (3x²+4)^(1/2) =

3x / Wurzel(3x²+4).

Da f(x) = u(x) * v(x) gilt nach der Produktregel

f '(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

Somit erhalten wir

f '(x) = (10x+3) Wurzel(3x²+4) + (5x²+3x+1) * 3x / Wurzel(3x²+4) =

(10x+3) Wurzel(3x²+4) + (15x³+9x²+3x) / Wurzel(3x²+4) =

(10x+3) Wurzel(3x²+4) Wurzel(3x²+4) / Wurzel(3x²+4) + (15x³+9x²+3x) / Wurzel(3x²+4) =

(10x+3) (3x²+4) / Wurzel(3x²+4) + (15x³+9x²+3x) / Wurzel(3x²+4) =

[ (10x+3) (3x²+4) + 15x³+9x²+3x ] / Wurzel(3x²+4) =

[ 30x³+40x+9x²+12 + 15x³+9x²+3x ] / Wurzel(3x²+4) =

[ 45x³ + 18x² + 43x + 12 ] / Wurzel(3x²+4).

Antwort
von FataMorgana2010, 16
 4x^6 -  6x + 10
 ---------------------
   (x^2  + 1 )^3

Wenn ich mir das auf dem angehängten Bild anschaue, sollst du bei dieser Aufgabe ja gar nicht die Ableitungsfunktion angeben, sondern lediglich die Steigung an einer bestimmten Stelle. Da ist es oft einfacher, das  mit der h-Methode zu machen: 

f'(0) = lim h-> 0 (f(h) -f(0))/h

Es ist 

f(h) - f(0) = (4h^6 - 6 h - 10)/(h²+1)³ - 10 

= (4 h^6 - 6h - 10 + 10 (h²+1)³ ) / (h²+1)³

= (4 h^6 - 6h - 10 + 10 (h^6 + 3 h^4 + 3h² + 1) ) / (h²+1)³

= (4 h^6 - 6h - 10 + 10 h^6 + 30 h^4 + 30 h²+10 ) / (h²+1)³

= (4 h^6 - 6h + 10 h^6 + 30 h^4 + 30 h²) / (h²+1)³

Teile ich das durch h, so habe ich

(f(h) - f(0)) / h = (4 h^5 - 6 + 10 h^5 + 30 h^3 + 30 h) / (h²+1)³

Da kann ich ganz entspannt h->0 gehen lassen (im Nenner steht dann ja 1), alle Summanden mit mindestens einem h fallen weg, und es bleibt 

f'(0) = -6

Und schon bin ich fertig. 

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