Frage von FreakyTag, 54

Zufallsexperiment wie gibt man die dieses Ereignis als Menge an?

In einem Sack sind 2 rote kugeln und 2 weiße und 2 blaue. Ereignis: die roten Kugeln werden nicht gezogen.. Man könnte ja schreiben E={weiß1;weiß2;blau1;blau2}, dann weiß man ja dass man rot nicht meint.. aber wie macht man das mathematisch richtig ? Ich weiß ich könnte einfach schreiben E(strich drüber also gegenzahl) = Omega(Ergebnisraum)/ E. Aber gibt es einen einfacheren Weg?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

Der Stochastik ist es relativ egal, ob die Kugeln weiß, rot, blau oder türkis sind. Ein Ereignis tritt ein oder nicht. In diesem Fall trifft es zu 2/3 (66 2/3 %) ein, dass keine rote Kugel kommt. Es ist keine stochastische Kategorie, ob du etwas meinst oder nicht. 

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E = Ω \ E

Was soll einfacher sein?

Antwort
von Schachpapa, 19

Wenn man davon ausgeht, dass nur einmal gezogen wird und dass zwei gleichfarbige Kugeln nicht weiter unterscheidbar sind (z.B. durch aufgedruckte Zahlen), dann ist die Ergebnismenge (manche sagen Ergebnisraum)  
Ω = { R; W; B }

Das Ereignis "Nicht Rot" ist dann E = { W; B } = Ω \ { R }

Die Anzahl der farbigen Kugeln ist erst dann interessant, wenn du mehrfach ziehst bzw. wenn du die Wahrscheinlichkeiten berechnen willst.

Kommentar von FreakyTag ,

Aber wenn man die Wahrscheinlichkeit ausrechnen will, muss man ja zB wenn es 2 rote Kugeln gibt und 4 blaue und 4 orangene und Mann die Wahrscheinlichkeit für blau ausrechnen will, muss man ja Elemente im Ereignis/Elemente im Ergebnisraum.. Das sind dann 4/10 .. Und wenn man dann den Ergebnisraum als {r;o;b} angibt , sind ja nur 3 Elemente im Ergebnisraum, daher müsste es ja 4/3 heißen, aber das ist ja falsch.. Wäre dann nicht {rot1;rot2;o1;o2;o3;o4;b1;b2;b3;b4} der Ergebnisraum , sodass man auch wirklich 10 Elemente im Ergebnisraum hat

Kommentar von Schachpapa ,

Die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse sind dann unterschiedlich. Wenn du 2 rote und 4 blaue und 4 weiße Kugeln hast, sind die Wahrscheinlichkeiten: P({R}) = 0,2    P({B}) = P{W}) = 0,4

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse (bzw. Elementarereignisse) ist immer 1, d.h. aber nicht, dass die Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sein müssen. Das ist nur bei Laplace-Experimenten (Münzwurf, Würfeln u.ä.) so.

Wenn du eine Heftzwecke (Reißnagel) oder einen Kronkorken wirfst, sind auch nicht beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Auch ein Dominostein hat sechs Seiten wie ein Würfel, die sind aber natürlich nicht alle gleich wahrscheinlich.

Kommentar von FreakyTag ,

Also ist das doch richtig ? Dann rechnet man das Ereignis orange aus: E={o1;o2} (wenn es 2kugeln sind) und hat dann 2 Elemente im Ereignisraum/10 Elemente im Ergebnisraum

Kommentar von FreakyTag ,

Wie rechnet man dann die Wahrscheinlichkeit für die blauen Kugeln aus wenn der Ergebnisraum nur 3 Elemente hat

Kommentar von Schachpapa ,

Das Ergebnis deines Experiments ist die Farbe der Kugeln. Da es nur drei Farben gibt, gibt es nur drei Ergebnisse. Es sei denn, du kannst die Kugeln unterscheiden in W1, W2, W3, R1, R2 usw.

Damit ist nichts über die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse gesagt. Mit dem Wissen, dass die Anzahl der Farben in der Urne unterschiedlich ist, kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dann teilst du tatsächlich die Anzahl der roten Kugeln durch die Gesamtzahl, also 2/10.

Anderes Beispiel: Du würfelst mit zwei Würfeln. Das Ergebnis des Experiments soll die Summe der Augen sein. Ein Ereignis könnte z.B. "gerade Augensumme" sein.

Dann gibt es nur 11 Ergebnisse {2;3;...;11;12} , obwohl du die beiden Würfel auf 36 Arten miteinander kombinieren kannst. Die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse 2 und 12 ist jeweils 1/36, für das Ergebnis 7 beträgt die Wahrscheinlichkeit jedoch 6/36 = 1/6. Es sind also nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Du merkst an der Formulierung "das Ergebnis soll sein, ...", dass es (auch) Definitionssache ist, was man als Ergebnis für das jeweilige Zufallsexperiment definiert.

Vielleicht kann es ja jemand anderes anders formulieren? Bin ja nicht alleine hier ;-)

Kommentar von FreakyTag ,

Ja aber man rechnet doch Anzahl der Elemente des Ereignis/Anzahl der Elemente im Ergebnisraum? Und wenn man dann wie du gesagt hast nur 3 ergebnisse hat wäre das doch falsch?

Kommentar von Schachpapa ,

Das gilt nur bei Laplace-Experimenten, wenn alle Elementarereignisse gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Antwort
von 0elville0, 17

Wenn ich es richtig verstanden habe, würde ich jetzt einfach sagen

E = P(w); P(B)

und drum herum die geschweifte Klammer.

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