Frage von Lilu20, 32

Zu zeigen: arctan(1/×) = sgn(x) PI/2 - arctan (x)?

Brauche bitte dringend Hilfe! Ich weiß überhaupt nicht wie ich sowas angehe.

Antwort
von surbahar53, 13

Der folgende Beweis setzt lediglich folgende Dinge voraus

1) arctan(x) = -arctan(-x)

2) arctan(1) = pi/4

3) arctan'(x) bekannt.

Für einen Uni-Professor schon zuviel, trotzdem ..

Es sei f1(x) = arctan(x), f2(x) = arctan(1/x), f(x) = arctan(x) + arctan(1/x)

f1'(x) = 1/(x^2 + 1)
f2'(x) = 1/( (1/x)^2 + 1) * -x^-2 = - 1/(x^2 + 1), für alle x!=0

f'(x) = f1'(x) + f2'(x) = 0, für alle x!=0

d.h. f(x) = const, für alle x!=0

Wegen arctan(x) = - arctan(-x) und arctan(1) > 0 gilt

f(x) = +C, für x > 0
f(x) = -C, für x < 0

Wegen

f(1) = f1(1) + f2(1) = arctan(1) + arctan(1/1) = 2 * pi/4 ist C = pi/2

also f(x) = pi/2 * sgn(x)

Antwort
von surbahar53, 13

Dazu müsste man wissen, welche Hilfsmittel erlaubt sind. Man könnte zum Beweis z.B. Additionstheoreme von tan, sin, cos oder auch arctan verwenden. Das setzt aber voraus, dass diese (im Sinne der Aufgabe) als bereits bewiesen gelten.

Antwort
von Jespol, 17

Mein Mathestudium ist zwar schon etwas her, aber ich denke die Taylorreihenentwicklung wird hier der Schlüssel sein. Schau dir mal die Taylorreihe von arctan x und arctan 1/x an.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten