Frage von McBaumwolle, 28

Zeitverlangsamung bei Gravitation - Formel?

Hallo Community, ich habe eine Formel im Internet gefunden, mit der man berechnen kann, wie viel man "in die Zukunft reist" wenn man sich bewegt. Gibt des das auch für die Zeitverlangsamung bei Gravitation, wenn man zum Beispiel um ein Schwarzes Loch fliegt (theoretisch). Also: Gibt es eventuell eine Formel dafür?

Danke im Voraus McBaumwolle

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 6

Gibt des [eine solche Formel] auch für die Zeitverlangsamung bei Gravitation, wenn man zum Beispiel um ein Schwarzes Loch fliegt (theoretisch)....?

Natürlich gibt es eine derartige Formel für die Gravitation, etwa, in der Nähe einer kugelsymmetrischen, nach außen begrenzten Massenverteilung

ϱ = ϱ(r≤R)

im Ursprung eines Koordinatensystems (also unabhängig von den Richtungskoordinaten ϑ, φ): Lauten die Polarkoordinaten für die flache Minkowski-Raumzeit

(1) c²dτ² = c²dt²– dr² – r²dϑ² – r²sin²(ϑ)dφ,

so wird sie mit einer höchstens langsam rotierenden Masse M im Zentrum zu

(2.1) c²dτ² = c²dt²({1 – r_S/r) – dr²/(1 – r_S/r) – r²dϑ² – r²sin²(ϑ)dφ

oder auch

(2.2)  c²dτ² = c²dt²(1 – 2GM/c²r) – dr²/(1 – 2GM/c²r) – r²dϑ² – r²sin²(ϑ)dφ,

wobei uns auf der RS hauptsächlich der erste Term interessiert, wenn wir uns vorstellen, dass der Beobachter in der Nähe der Schweren Masse ruht. Für

R > r_S = 2GM/c²,

also wenn die Massenverteilung ausgedehnt und ohne Ereignishorizont ist, ist das kein Schwarzes Loch und kann sogar unsere gute alte Erde sein. Die Schwarzschildmetrik ist aber auch für nicht rotierende elektrisch neutrale Schwarze Löcher geeignet, und zwar für alle r bis auf r=r_S und r=0, wobei man die Singularität bei r=r_S wegtransformieren kann, indem man andere Koordinaten verwendet.

Die Schwarzschild-Koordinaten sind ja auf "schwebende" Beobachter mit konstantem r zugeschnitten, was für r<r_S sowieso nicht mehr klappt. Dort ist r nämlich zeitartig, und zwar mit nach innen gerichtetem Zeitpfeil. Das Innere ist also kein Kugelinnenraum, sondern gleichsam ein Vorgang, nämlich der des Kollaps einer Region.

Eine bei r = 3GM/c² (Photonenkreisbahn) "schwebende" Uhr sollte also im Zeitintervall ∆t nur die Zeit

∆τ = ∆t√{1 – 2/3} = ∆t√{1/3}

anzeigen. Der Unterschied ist kleiner als ich ohne zu rechnen erwartet hätte.

Antwort
von PeterKremsner, 18

http://quanten.de/forum/showthread.php5?p=31568#post31568

Ja die gibt es

Kommentar von McBaumwolle ,

Dannkkee!

Die erste Formel hab ich oben gemeint :)

Danke für die anderen

Schönen Abend noch, Matthias

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