Zeitdilatation - Uhrenvergleich Erdoberfläche, Stabile Umlaufbahn um Neutronenstern?

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4 Antworten

Wir haben einen Neutronenstern (N) mit einer Sonnenmasse…

Ein Sternenkern von weniger als 1,4 Sommenmassen kollabiert nicht zum Neutronenstern, sondern bleibt im Stadium des Weißen Zwerges stecken. 

…und eine Atomuhr (A1), die sich in einer stabilen, kreisförmigen Umlaufbahn mit ca 10 Km Abstand um einen Neutronenstern bewegt.

Ein Neutronenstern hat typischerweise selbst einen Radius von 10 km. Es ist also die Frage, ob 10 km vom Mittelpunkt oder 10km von der Oberfläche gemeint ist, was ich annehme. Das wären dann 20 km vom Mittelpunkt.

Das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen, nicht schnell rotierenden Körpers ist näherungsweise durch die erstmals 1916 von Karl Schwarzschild beschriebene Metrik

(1) (cdτ)² = (cdt)²(1 – 2µ/r) – (dr)²/(1 – 2µ/r) – (r·dϑ)² – (r·sin(ϑ)·dφ)²

gegeben, wobei µ=GM/c² der Gravitationsradius und 2µ der Schwarzschildradius heißt und G die Gravitationskonstante ist.

An (1) kann man schon ablesen, dass die Radialkoordinate r, die eine »Umkugel« um den Ursprung mit der Fläche 4πr² markiert, nicht einen radialen Abstand zum Ursprung darstellt; der ist größer.

Die Diskrepanz nimmt mit abnehmender Entfernung zur Oberfläche oder, bei Schwarzen Löchern, zum Ereignishorizont, zu. Um das genau auszurechnen, muss man eigentlich integrieren, aber man kann für's Erste auch grob abschätzen.

Ein Objekt von 1 Sonnenmasse hat einen Schwarzschildradius von

(2.1) 2·⅔×10⁻¹⁰m³/(kg·s²)·2×10³⁰kg/(9×10¹⁶m²/s²) = ⁸/₂₇×10⁴m ≈ 3km.

Ganz grob lässt sich also in der Umgebung der Oberfläche des Neutronensterns ⅓ für 2µ/r einsetzen und √{³/₂} ≈ 1,2 als Faktor erhalten, sodass r für ein 10km von der Oberfläche vielleicht einen Wert zwischen 16 und 18 hätte. Für 18 kommen wir auf 2µ/r ≈ ¹/₆, sodass sich

dt/dτ=√{⁵/₆} ≈ ¹¹/₁₂

ergibt. Das erscheint nicht viel, ist aber erheblich im Vergleich zu  allem anderen. Dabei habe ich nicht einmal die Rotation berücksichtigt.

In der Erdbahn ist 2µ/r ≈ 3km/1,5×10⁸km = 2×10⁻⁸. Das ist freilich immer noch mehr als das von der Erde selbst an der Oberfläche, denn ein Objekt von Erdmasse hat einen Schwarzschildradius von

(2.2) 2·⅔×10⁻¹⁰m³/(kg·s²)·6×10²⁴kg/(9×10¹⁶m²/s²) = ⁸/₉ ×10⁻²m ≈ 0,9cm,

und das bedeutet 9×10⁻³m/63×10⁵m = ¹/₇×10⁻⁸.

Gefühlt wäre A1 ja schwerelos, …

Na ja, nicht ganz. Es würden sich enorme Gezeitenkräfte zeigen. Es ist aber auch nicht die Gravitationskraft, sondern das Gravitationspotential (s. Gleichung (1)), das für die ZD verantwortlich ist.

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Kommentar von Richard30
07.09.2016, 20:05

hm^^ also auch wenn ich das meiste nicht verstanden habe, dennoch danke für deine Antwort.

Ja, also das mit der 1 Sonnenmasse war einfach nur ein fiktiver Wert, ich weiss nicht wie schwer die kleinsten Netronensternen sind die man beobachtet hatte, aber ich hab mal was mit 1,2 Sonnemassen gehört, aber war ja wie gesagt nur als Beispiel gedacht.

Die 1,4 Sonnemassen, diese Grenze, die gilt, wie du sagt für den Kern, oder wie kann ich das verstehen? Von den 1,4 hab ich schon oft gehört, aber heisst das, wenn der Kern >= 1,4 SM hat, dann wird daraus eine Supernova und somit ein Neutronenstern b.z.w ein Schwarzes Loch?

Und wenn du meinst "nicht schnell rotierender Körper", wie schnell ist da gemeint? Ein Pulsar rotiert ja schon recht schnell in Relation zu anderen Himmelskörpern.

Das mit den Scherkräften kann man ja mal aussen vor lassen, die gibt es ja eigentlich immer. Auch die magnetischen Kräfte, die bei nem Neutronenstern ja ernorm sind, sind in dem Beispiel nicht wichtig gewesen. In meiner Annahme, war A1 quasi Punktförmig. Mit den 10Km Abstand war der Abstand zur Oberfläche gemeint. In der Raumfahrt bezieht sich die Höhe eines Orbits ja auch von Normal Null aus gesehen, b.z.w dem "Meeresspiegel"

Es ging mir letzendlich nur um folgende Situation:

Ein Messpunkt ist gefühlt schwerelos, also man würde, würde man sich auf dem Messpunkt befinden, 0g messen. Dafür ist es in einem stärkerem Gravitationsfeld.

Der andere Messpunkt ist in relation zum ersten in einem sehr schwachen Gravitationsfeld, man würde aber 1g oder mehr messen. Welche Uhr würde langsamer gehen? Nun das müsste ja die Uhr sein, die sich im stärkeren Gravitationsfeld befindet. Damit könnte man nachweisen, dass nicht die g kräfte die Zeit "Verlangsamen" sondern wirklich das Gravitationsfeld. Darum ging es mir eigentlich.

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A1 geht weitaus langsamer, da 1. die hohe Gravitation zu einer starken Zeitdilatation führt, und 2. die hohe Geschwindigkeit der Uhr im Orbit um den Neutronenstern ebenfalls zu einer weiteren Zeitdilatation führt, die sich zur ersten addiert.

Die Erde ist im Vergleich so massearm, dass die Raumzeit hier sehr flach ist und die Zeitdilatation sehr gering.

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Kommentar von SlowPhil
08.09.2016, 02:37

Genauer gesagt ist die Masse der Erde so klein, dass die Sonne sogar aus 1,5×10¹¹m Entfernung mehr Einfluss hat, was man übrigens an dem Verhältnis zwischen der 2. und 3. kosmischen Geschwindigkeit sieht.

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Ja, die Zeit bei A2 würde relativ zu A1 langsamer vergehen

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Kommentar von DieMilly
06.09.2016, 00:36

Andersrum :)

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A2 würde schneller gehen, da die Erde eine viel geringere Masse hat als ein Neutronenstern. A1 dahingegen langsamer, da Neutronensterne viel Masse haben. Dieser Effekt ist bei Schwarzen Löchern am Größten.

Fachwort: Zeitdiliation.

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