Frage von Naydoult, 36

Zeigen wie eine Gleichung genau funktioniert (Nachhilfe)?

Gebe demnächst einen Achtklässler Nachhilfe was Gleichungen betrifft. Nun wollte ich dazu die mathematischen Hintergründe erläutern und ihn Gleichungen anders erklären, auch wenn vielleicht abstrakter als in der Schule?

Erstmal wollte ich mit der Äquivalenzumformung beginnen, wenn auf beiden Seiten der selbe Ausdruck bei einer Gleichung steht:

b = b

So lässt der sich beliebig äquivalent verändern, beispielsweise indem wir auf beiden Seiten c subtrahieren:

b-c = b-c

Auf beiden Seiten steht immer noch das Gleiche da!

Dasselbe mit Multiplikation, Division und Addition.

Dann würde ich die Gleichung:

x = 3,

vorzeigen und erst einmal fragen ob die korrekt ist im Bereich der natürlichen Zahlen.

Ich mache deutlich wann eine Lösung existiert, wann keine existiert und wann es unendlich viele gibt.

Eine Lösung existiert (oder mehrere), wenn: Es mindestens eine natürliche Zahl x gibt für die die Gleichung gilt.

Keine Lösung existiert, wenn: Für Alle x aus den natürlichen Zahlen gilt, das die Gleichung für jede natürliche Zahl eben nicht geht.

Unendlich viele Lösungen existieren, wenn: Für Alle x aus den natürlichen Zahlen gilt, das die Gleichung gilt.

Bei x = 3 wäre das der erste Fall, die Gleichung ist nur für die natürliche Zahl 3 korrekt und für keine andere.

Diese Gleichung können wir nun auch beliebig umformen (mit der Annahme das dasselbe auf beiden Seiten steht, bin mir hier ein wenig unsicher?!).

x = 3 l +2

x + 2 = 5

Es steht auf beiden Seiten immer noch dasselbe da, wir müssen für x immer noch 3 einsetzen damit die Gleichung gilt.

x + 2 = 5 l *3

3x + 6 = 15 l +x

4x + x + 6 = 15 + x

Hier müssten wir nun wieder dasselbe einsetzen, das ist die äquivalente Umformung. Aus der ersten Umformung folgt die zweite und umgekehrt. Wir können also zurück zum Ausdruck x = 3 kommen und eine Probe machen.


Findet ihr die Erklärung ist in Ordnung und denkt ihr man versteht das dann? Könnt ihr mir noch andere Erklärungen schreiben bitte? :-)

Vielen Dank.

Antwort
von gfntom, 19

Findest du nicht, dass das eine sehr theoretische Abhandlung ist?

Schau dich hier im Forum um: hier werden Formeln und Lösungswege gesucht, weil nicht mehr verstanden wird, was dahinter steht!

Versuch an anschaulichen Beispielen zu erklären, was eine Gleichung bedeutet. Wichtig ist zunächst, das umsetzen eines Sachverhaltes in eine Gleichung zu (oder umgekehrt) zu verstehen.

Beispiel:
y = 2 x
y = x +100
was hat dies für eine Bedeutung? Zunächst mal nur eine mathematisch abstrakte. Wenn ich aber erkläre, dass Hans doppelt soviel Geld wie Fritz hat und ich weiß, dass Hans um 100 € mehr als Fritz hat, so bedeutet das Gleichungssystem plötzlich etwas!

Die ganzen Äquivalenzumformungen sind wichtig, sie sind aber nur dann sinnvoll, wenn man weiß, was man macht und warum man das macht!

Kommentar von Volens ,

Richtig!
Schule (zumal in den unteren Klassen) ist eine Imitationsanstalt und keine Universität. Wer dann beim Nachhilfeunterricht zu hochgestochen ansetzt, hat schon verloren.
Auch Äquivalenzumformung lernt (und lehrt) man nur, wenn man mit klaren Beispielen beginnt und nicht mit universitären Vorlesungen.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 23

Ich würde versuchen, bildhafter zu erklären, zum Beispiel anhand einer Waage, wie sie früher verwendet wurde, mit zwei Waagschalen.

Kommentar von Naydoult ,

Oh ja, das ist gut. Danke.

Kommentar von Suboptimierer ,

Bitteschön!

Antwort
von DrBlaBlaBlub, 13

Die Erklärung ist finde ich gut, jedoch denke auch ich, dass eine visuelle Verknüpfung durchaus hilfreich wäre.

Möglich wäre, wenn dass nichts bringt, es mit Hobbys zu verknüpfen und so auf eine für den Schüler nachvollziebarere Ebene zu rücken. Habe einem Kumpel so Verhältnisgleichungen anhand des Kartenspiels "Magic: The Gathering" näher gebracht.

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