Frage von Schueler0812, 25

Zeigen Sie, dass für beliebige Vektoren x, y, z ∈ R^3 und λ ∈ R gilt:?

x × y = − (y × x)

x × y = 0 ⇐⇒ x und y sind linear abhängig

Wie soll man die allgemein Beweisen?

Antwort
von ProfFrink, 15

Ganz einfach. Du gehst von einem dreidimensionalen Vektor x aus, der aus den drei Komponenten (x1, x2, x3) besteht. Dann nimmst Du einen anderen Vektor y der auch aus den drei Komponenten (y1, y2, y3) besteht. Dann führst Du eine Vektormultiplikation  x x y. Danach führst Du eine weitere Vektormultiplikation y x x aus und vergleichst die Ergebnisse. Es müsste das gleich; nur alles negativ herauskommen.

Bei dem Beweis mit der linearen Abhängigkeit muss eben der y-Vektor linear abhängig gemacht werden: y = (lamda*x1, lambda*x2, lambda*x3).

Dann berechnest Du erneut Dein Vektorprodukt x x y. Hier muss dann 0 heraus kommen.

Nun weiss ich nicht welche Methode Du zur Berechnung des Vektorproduktes anwendest. Ich empfehle die Determininatenmethode. Alle anderen Methoden führen aber auch zum Ziel

Kommentar von Schueler0812 ,

Um ehrlich zu sein keine Ahnung was ich für eine Methode verwende :D es funktioniert auf jedenfall

ich schreibe mir die Vektoren dann nochmal drunnter steiche die oberste und untere und mache dann über kreuz mal nehmen usw.

Okay das erste habe ich verstanden beim 2ten muss ich es erstmal schreiben denke ich bevor ich es verstehe.

Kommentar von Schueler0812 ,

okay habs verstanden und es ist auch logisch vielen dank :)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

Wie habt ihr das Kreuzprodukt definiert?

Setze einfach 2 allgemeine Vektoren in diese Definition ein, mal in der einen,, mal in der anderen Reihenfolge und rechne die Terme aus. Es sollte sich zwanglos die erste Behauptung ergeben.

Je nach eurer Definition des Kreuzprodukts ist der Nachweis der 2. Behauptung sehr leicht bis etwas aufwendiger.

Kommentar von Schueler0812 ,

ich habe einfach allgemein X= (x1;x2;x3) Y=(y1:y2:y3) eingesetzt.

das Kreuzprodukt ist definiert als:

x2y3-x3y2
x3y1-x1y3
x1y2-x2y1
Kommentar von PWolff ,

1. Behauptung:

x und y tauschen und neu sortieren

Es sollte dasselbe mit umgekehrtem Vorzeichen rauskommen, was schon da steht

2. Behauptung: Du hast in der Frage "λ" erwähnt. Wie kann man lineare Abhängigkeit zweier Vektoren über ℝ mit einer Konstanten λ ∈ ℝ ausdrücken?

Dann einsetzen und ausklammern

Kommentar von Schueler0812 ,

In der Aufgabenstellung steht drinne das, dass Vektor Produkt definiert ist als:

   x1       y1      x2y3-x3y2
   x2 x y2 = x3y1-x1y3
   x3 y3 x1y2-x2y1

Da ich ja allgemeine Vektoren einsetztez.b  x= (x1;x2;x3)  ist es schon allgemein gehalten.

Die 2te behauptung ist ja Linear abhänging das heßt das ergebnis ist 0 bedeutet also y ist abhängig von x daher λ*x

Kommentar von PWolff ,

1.: Ja, es ist schon allgemein; jetzt geht es in die nächste Abstraktionsstufe: die Variablen x und y ersetzen; in diesem Fall vertauschen. Vergleiche das Ergebnis mit dem obigen.

2.: stimmt: setz jetzt mal y = λ x ein.

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