Frage von SirPanamera, 18

Zeigen sie das gilt a<(a+b)/2<b?

a<(a+b)/2<b mit a,b sind reelle Zahlen, und es gilt a<b.

wie beweise ich das? Geht das auch ohne das ich Zahlenbeispiele verwende?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Schachpapa, 18

Du zeigst für beide Ungleichungen, dass aus der Voraussetzung folgt, dass sie richtig sind

(Du überlegst dir das Folgende)

a < (a+b)/2       |*2

2a < a+b          | -a

a < b

und schreibst dann das auf:

a < b => a+a < a+b => 2 a < a + b => a < (a+b)/2

=> soll das "daraus folgt" Zeichen sein.

Analog für (a+b)/2 < b

Kommentar von SirPanamera ,

wieso lässt du bei der ersten Zeile deiner Rechnung das rechte <b weg? kann man das einfach so machen?

und wie würde das dann aussehen für 

sqrt(x*y) <=(x+y)/2  wenn gillt x,y >=0   ..(<= steht für kleiner/größer oder gleich)

Antwort
von Roach5, 18

Ja, alles was du verwenden musst ist die Voraussetzung a<b.

Wir betrachten (a+b)/2, und sehen, dass unter der Annahme a<b der Ausdruck (a+b)/2 < (b+b)/2 gilt. [Substitution von a durch b mit a < b]. Umrechnen ergibt (b+b)/2 = 2b/2 = b, also (a+b)/2 < b.

Analog ersetzen wir b durch a und kommen auf:

(a+b)/2 > (a+a)/2 = 2a/2 = a, also a < (a+b)/2 < b.

LG

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