Frage von Alinchen24, 48

Zeigen das etwas eine Abbildung ist?

hey:) ich muss in mathe zeigen, dass die kompostion von 2 funktionen eine abbildung ist,aber habe keinen ansatz wie ich dies zeigen soll.

danke im vorraus Alina

Antwort
von densch92, 14

Ich weiß zwar auch nicht hundertprozent wie es geht aber ich würde mal die Definiton einer Abbildung auskramen, vorzugsweise die aus eurem Skript oder Unterlagen. Ich nehm mal einfach die aus Wimkipedia (Funktion ist so ziemlich das selbe wie eine Abbildung).
Zuerst mal muss jedem x-wert genau ein y-wert zugeordnet werden
(nicht verwechselnd mit injektiv und surjektiv die nur aussagen wie viele x werte einem y-wert entsprechen.
Hier gehts aber drum wie viele y-werte einem x-wert zugeordnet sind)

Wäre deine vorschrift beispielsweise
x->+-x^2
dann wäre das keine funktion, denn z.B. x=5 würde dann y=+-5^2, also y1=25 und y2=-25 zugeordnet werden. 2 y-wete für einen xwert, das darf nicht sein.

Dann musst du natürlich eine wertemenge (die menge an möglichen x-werten) haben, eine Zielmenge (analog die y-werte) und eine vorschrift zwischen denen haben.

Nun zu deinem Fall:
Sagen wir mal, du hast die Abbildung f:A->B mit irgendeiner Funktionsvorschrift y=f(x) und d. Abbildung g:B->C mit z=g(y).
Wie f(x) und g(y) aussehen ist egal,solange es Funktionsvorschriften sind (siehe dazu das Thema von wegen "jedem x-wert entspricht genau ein y-Wert).

Kurz gefasst hast:
Jedem x entspriht genau ein y=f(x) und jedem y entspricht genau ein z=g(y) weil f und g Funktionen sind.

Ergo entspricht jedem x ein z=g(y)=g(f(x)) , weshalb die x-y-Eindeutigkeit schon mal gegeben ist.

beachten musst du auch so Sachen wie "ist jeder y-Wert, der aufgrund der Wertemenge und der Vorschrift theoretisch möglich ist, auch in der Zielmnge"

Denn dann wäre das Teil eventuell nicht richtig definiert, also nicht jedem x-Wert entspräche ein y aus der Zielmeng und es wäre keine richtige Fuktion.

hier mal ein Gegenbeispiel:
Wertemenge A={1,2,3,4,5}
Zielmenge B={1,2,3}
y=f(x)=x+1 als Vorschrift

Dann entspräche laur Vorschrift x=5 der Wert y=f(x)=5+1=6, dieser ist allerdings niht in der Zielmenge.

Joa, den Aspekt musst du bei der Komposition auch beachten.
Da du in der Praxis nicht jedem x-wert ausprobieren kannst, machst du dann in etwa folgendes:

Du nutz hier schwer die Mengenschreibweise aus:
DU beginnst mit A, der Wertemenge von f(x).

Dann ist f(A)={y=f(x)|x aus A} Teilmenge von B, da f(x) nach Definition eine Funktion ist.

Gleiches gilt für g(B)={z=g(y)|y aus B} ist Teilmenge von C, da g ne Funktion ist.

Dann ist g(f(A)) ne Teilmenge von C, da g(f(A)) nach Definiton von f ne Teilmenge von g(B) ist und das wiederum ne Teilmenge von C ist nach Definition.

So in der Richtung.

Das sind mal 2 Aspekte, die da zu prüfen sind.

Dass jedes x nur einen y-wert hat.
Und dass jeder Funktionswert auch in der Zielmenge liegt bzw. f(Wertemenge) Teilmenge der Zielmenge ist.(Was man übrigens "Wohldefinirtheit" nennt.

gibt sicher noch 1 oder 2 Sachen ansonsten zu beachten, aber mehr will mir zurzeit nicht einfallen. :-/

Antwort
von ralphdieter, 8

Abbildung heißt: Verschiedene Bildpunkte haben verschiedene Urbilder, also:

  f(x₁)≠f(x₂) ⇒ x₁≠x₂

Gilt das für f und g einzeln, dann hast Du auch:

  f(g(x₁))≠f(g(x₁))
⇒ g(x₁) ≠  g(x₂)    — weil f eine Abbildung ist,
⇒    x₁  ≠     x₂    — weil g eine Abbildung ist.

Also erfüllt auch f∘g die Definition [q.e.d.]

Kommentar von Negiz ,

aber das was du zum beweisen benutzt hast muss man doch zeigen? f(g(x1)) != f(g(x1)) g(x1) != g(x2) der schritt geht doch nur, wenn man annimmt, dass f(g(x)) eine Funktion ist. oder nicht?

Kommentar von Negiz ,

ahso ne sorry hast recht

Antwort
von Negiz, 15

Du musst zeigen, dass durch die Komposition die Rechtseindeutigkeit und Linkstotalität erhalten bleibt.
Annahme: R und S seien zwei beliebige Funktionen (d.h. sie sind linkstotal und rechtseindeutig)
zu zeigen:
R komposition S ist ebenfalls eine Funktion
Beweis:
Du nimmst die aussagenlogische definition von linkstotal und rechtseindeutig und beziehst sie dann auf R und auf S (also die Bezeichner da). Anschließend tust du das gleiche mit der produktrelation und zeigst dass die beide äquivalent sind
(Das musst du machen, nehm ich dir nich ab ist aber ein möglicher weg)

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