Frage von Gutefrage2507, 100

Zeichne ein Quadrat. Konstruiere ein Quadrat mit doppeltem ( dreifachem ) Flächeninhalt?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 52

Hallo,

ich habe dir eine Zeichnung hochgeladen.

Das dunkelblaue Quadrat links ist das Quadrat, das verdoppelt werden soll.

Du konstruierst ein kongruentes Quadrat daneben, so daß ein Rechteck entsteht mit den Seiten p und q, wobei gilt: q=2p

Du verlängerst die Seite q um p (grüne Linie), so daß die Strecke AB entsteht.

Wo q aufhört und p anfängt, konstruierst du eine Senkrechte. (Punkt C).

Suche die Mitte der Strecke AB und schlage um diese einen Thaleskreis mit dem Radius AB/2 (braun).

Wo der Kreis die Senkrechte schneidet, ist die linke obere Ecke des gesuchten Quadrates, weil nach dem Höhensatz des Euklid in rechtwinkligen Dreiecken gilt: h²=p*q.

h ist nun eine Seite des Quadrates (das hellrote Quadrat), das den doppelten Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrates besitzt.

Herzliche Grüße,

Willy


Kommentar von Volens ,

Sehr pfiffig!

Kommentar von Willy1729 ,

Beim Verdoppeln würde es natürlich noch schneller gehen, wenn man ein neues Quadrat über der Diagonale des alten konstruiert.

Genau dies hast Du ja vorgeschlagen.

Mit Hilfe des Höhensatzes kannst Du aber beliebige Vervielfachungen eines Quadrates konstruieren.

Antwort
von Nina1301, 54

Zuerst suchst du dir eine Kantenlänge aus, zum Beispiel 4cm und zeichnest das Quadrat. Der Flächeninhalt beträgt dann 16cm^2. das Doppelte davon ist 32cm^2. Nun löst du die Gleichung x^2=32 nach x auf. Die Kantenlänge für ein Quadrat mit doppelten Flächeninhalt ist dann also 5,66cm.

Kommentar von Gutefrage2507 ,

danke

Kommentar von backtolife ,

beim konstruieren darf man nicht rechnen und messen

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 40

Um den doppelten Flächeninhalt eines Quadrats zu bekommen, arbeitest du mit einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck. Bei dem ist das Quadrat über der Hypotenuse doppelt so groß wie über einer Kathete.

Das ist auch bei jeder Diagonale eines Quadrats der Fall.

Kommentar von Volens ,

Für die Verdreifachung musst du anders herum vorgehen. Es ist ja
4a² - a² = 3a².
Es geht also auch mit dem Pythagoras, aber konstruiert werden muss eine Kathete.
Die Hypotenuse hat 2a, ihr Quadrat 4a².
Über der Hypotenuse schlägst du den Thaleskreis.
Von einem Endpunkt der Hypotenuse schlägst du dann einen Kreisbogen mit Länge a, der den Kreis schneidet. Dann bekommst du ein rechtwinkliges Dreieck, dessen zweite Kathete das Quadrat von 3a² bildet.

Kommentar von Volens ,

Natürlich hat nicht die Kathete 3a², sondern das Quadrat darüber.
Die andere Kathete hat a² über sich.

a² + 3a² = 4a² = (2a)²

Antwort
von mysunrise, 40

A = a^2

4A = (2a)^2

-> vervierfachen: doppelte Seitenlänge

Kommentar von Geograph ,

Das war nicht gefragt (:-(

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