Frage von Fredois123, 105

Zahlenfolge Bildungsvorschrift?

Ich bräuchte hilfe zur ermittlung von der rekursiven bzw. expliziten Bildungsvorschrift zur folgenden Zahlenfolge: 1 ; 4 ; 7 ; 9 ; 10 ; 13 ; 16 ; 18 ; 19 ; 22 ; 25 ; 27 ; 28 ; 31; 34; 36; 37.... a1=1

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 37

Hallo,

im Grunde hast Du hier vier Folgen, die sich einander abwechseln.

Die erste hat die Bildungsvorschrift a<4n-3>+3=a<4n-2> 

In den spitzen Klammern steht jeweils der Index, ich kann hier keine Zeichen verkleinern und tiefstellen.

Die zweite lautet:

a<4n-2>+3=a<4n-1)

Die dritte:

a<4n-1>+2=a<4n> 

und die vierte schließlich:

a<4n>+1=a<4n-3>, womit Du wieder beim Anfang wärest.

Mit der vierten Folge kannst Du alle Folgenglieder berechnen, die einen Index besitzen, der ohne Rest durch 4 teilbar ist, wie z.B. a<1000>.

Du rechnest a<1000>=a<4*250>=9+9*(n-1)=2250

Suchst Du a<23>, gehst Du nach Folge 3:

a<4n-1>, weil 23 =24-1 ist.

Dein n ist also 6.

Für n=1 hast Du als Startwert das 3.Folgenglied, also die 7 (4*1-1=3)

Du rechnest: a<23>=7+9*n-1)=7+9*5=52

Du brauchst also nur die vier Startglieder dieser vier Folgen zu ermitteln, also die ersten vier Glieder der Gesamtfolge: 1,4,7,9. Zu denen rechnest Du dann jeweils 9*(n-1) dazu, wobei sich n aus dem Index errechnen läßt.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 36

Zieh erst mal den Polynomanteil raus. Das ist hier ein linearer Anteil.

Du hast 4 Summanden, die sich periodisch wiederholen. Ihr Mittelwert ist 3/4.

Zieh von der Folge eine arithmetische Folge ab, bei der der Zuwachs genau diese 3/4 ist. Du erhältst eine periodische Folge.

Diese Folge (a_k)_(k∈ℕ) kannst du z. B. durch eine vierfache Fallunterscheidung nach dem Rest der Division von k durch 4 darstellen oder durch eine periodische Funktion (zusammengesetzt z. B. aus sin- und/oder cos-Termen).

Antwort
von YStoll, 43

Angenommen, du kennst a_996, was wäre dann a_1000?
Da sich die Vorschrift alle 4 Schritte wiederholt, ist es egal, welchen Schritt man von a_996 nach a_997 machen muss, um bis a_1000 zu gelangen, muss man so oder so genau die vier Schritte je einmal anwenden, also a_1000=a_996 + 3 + 3 + 2 + 1=a_996 + 9
Das gilt für alle Zahlen mit einem Abstand von 4, also a_n zu a_(n+4)
Du kannst also jedesmal den Index um vier verringern und gleichzeitig den Wert um 9 erhöhen.
Du musst also nur noch wissen, wie oft du 4 vom Index abziehen kannst.
Willst du also a_k berechnen, teilst du k durch 4 und multiplizierst den Teil vor dem Komma mit 9 und addierst einen Rest.
Den Rest bestimmst du, indem du den Teil hinter dem Komma wieder mit 4 multiplizierst und den Wert des sovielten a_ 's anguckst, wobei a_0 = 0

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 14

Rekursiv ist es eine Differenz von 9 zum 4. Vorgänger: 

aB[i+4]=aB[i]+9

Explizit kann man Knick-Funktionen (floor, mod, (-1)^n usw.)  basteln, aber die exakte weiche (für alle Zahlenbereiche gültige) zeichenbare Funktion lautet: 

(9*x)/4+cos((x*PI)/2)/4+cos(x*PI)/8-3*sin((x*PI)/2)/4-3/8 

Beides zeigen die Bilder vom Iterationsrechner und Plotter 

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

Zugabe:
Da jedoch keine Randbedingungen gegeben sind, könnte man auch ein Interpolationspolynom basteln: 

(337 x^15)/5837832000-(62401 x^14)/16345929600+(179363 x^13)/1167566400-(7551331 x^12)/1796256000+(3380813 x^11)/40824000-(27718967 x^10)/22861440+(15663749 x^9)/1166400-(259326632861 x^8)/2286144000+(7461253393 x^7)/10206000-(160353792923 x^6)/44906400+(73121656561 x^5)/5613300-(58945865891987 x^4)/1702701000+(652527521383 x^3)/10135125-(370658942362 x^2)/4729725+(60234329 x)/1092-(131 x^16)/326918592000-16640

Antwort
von JonasV, 39

An=(3+3+2+1)*(UntereGaußklammer(n/4))+:
- 0, falls n=0 modulo 4. (Also n/4 hat Rest 0)
-3, falls n=1 modulo 4
-6, falls n=2 modulo 4
-8, falls n=3 modulo 4

Die Untere Gaußklammer einer Zahl x ist die größte natürliche Zahl, die kleiner als die Zahl x ist. Also z.B. UntereGaußklammer(3.5)=3

Im ersten Schritt zählst du also mit der Gaußklammer wie viele ganze viererpaare du aus deiner Zahl n rauskriegst. Pro viererpaar kriegst du 3+3+2+1=9 dazu. Mit der Restteilung am Ende unterscheidest du, wie viel von dem zerstückelten 4erpaar am Ende noch da ist.

(Ich hab nicht beachtet, was a0 ist. Evtl musst du den Startpunkt etwas abändern.)

LG

Kommentar von JonasV ,

Jo da du bei 1 startest musst du auf alles noch 1 dazuaddieren. (sofern A0=1 und nicht A1=1. Falls A1=1 musst man noch was abändern)

Kommentar von Fredois123 ,

A1 =1 ;

A0=0

Kommentar von JonasV ,

Dann musst du Gaußklammer(n+1/4) machen und die Reste jeweils etwas verschieben ;-)

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 64

Immer +3 +3 +2 +1

Kommentar von Fredois123 ,

ich weiss aber ich bräuchte eine Bildungsvorschrift damit ich schneller z.B. a1000 berechnen kann

Kommentar von Suboptimierer ,

a_n = floor(n/4) * 9 + f(n mod 4)

mit f(n): {0,1,2,3} → {0,1,4,7}
0 → 0
1 → 1
2 → 4
3 → 7

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