Frage von lizzie1999, 27

Zähler- und nennerpolynome einer rationalen Funktion? Wie?

Hey, ich muss diese Aufgaben morgen vorstellen aber ich weiss einfach nicht wie ich vorgehen soll, kann mir jemand helfen bitte?
Also ich weiss nur, dass ich es nur überprüfen kann ob f ganzrtional ist, wenn ich eine polynomdivision durchführen kann

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 14

Hallo,

Du hast hier Mehrfachbrüche vorliegen, die Du zunächst in einfache Brüche umwandelst.

Beispiel: Erste Aufgabe.

Hier hast Du im Zähler 1/x und im Nenner (x-2)/x+2

Im Nenner bringst Du die 2 zunächst mit auf den Bruchstrich, indem Du sie mit x multiplizierst:

(x-2+2x)/x

Zusammenfassen: (3x-2)/x

Dadurch kannst Du nun 1/x dividieren, indem Du mit dem Kehrwert multiplizierst:

(1/x)*(x/(3x-2)

x kannst Du kürzen und es bleibt:

1/(3x-2)

So machst Du es bei den anderen Aufgaben auch. Wenn sich jedes x im Nenner wegkürzen läßt, hast Du es mit einer ganzrationalen Funktion zu tun, die sich von der ursprünglichen nur dadurch unterscheidet, daß ihr Definitionsbereich nicht mehr eingeschränkt ist.

Herzliche Grüße,

Wily

Kommentar von lizzie1999 ,

Okay danke!!!!

Kommentar von lizzie1999 ,

Das heisst aber, die 1 Funktion ist nicht ganzrational oder? Weil da lassen sich ja nicht alle x wegküssten

Kommentar von Willy1729 ,

Genau.

Es bleibt ja immer noch ein x im Nenner, das Du nicht loswirst.

Kommentar von lizzie1999 ,

Wegkürzen*

Antwort
von Comment0815, 15

Ein Polynom hat die Form ...+ax²+bx+c (die höchste Potenz kann beliebig hoch sein, es muss nicht bei x² anfangen).

Ein Nennerpolynom ist ein Polynom, das bei der gebrochenrationalen Funktion im Nenner steht und ein Zählerpolynom steht im Zähler.

Du musst die gegebenen Funktionen so weit vereinfachen, bis du etwas in der Form (oder ähnlich) f(x)= (3x³+2x-1)/(2x²+2) dastehen hast. Hier wäre das Zählerpolynom 3x³+2x-1 und das Nennerpolynom 2x²+2. Wenn das Nennerpolynom = 1 ist handelt es sich um eine ganzrationale Funktion.

Du musst aber dennoch immer die nicht definierten Stellen von Anfang an ausschließen (was in deinem Fall aber ohnehin schon in der Aufgabenstellung angegeben ist.

Kommentar von lizzie1999 ,

Super! Tausend dank! Das heisst ich muss einfach nur schauen was die polynome sind und wenn der nennerpolynom 1 ist, ist sie ganzrational? Oder muss ich die Gleichung auch noch umschreiben?

Kommentar von Comment0815 ,

So wie die Terme dastehen kannst du die Polynome noch nicht direkt rauslesen. Du musst erstmal die Doppelbrüche auflösen. Da wird dir Willys erklärung sicher helfen.

Und dann kannst du die Polynome einfach ablesen.

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