Frage von safka1, 31

Y-Wert der Extremstellen berechnen - Gegeben ist eine Funktionenschar fa(x)=x²-(a+1)x----- Wie berechne ich den Y- Wert der Extremstellen?

Gegeben ist eine Funktionenschar fa(x)=x²-(a+1)x a) Untersuchen sie die Schar für a>0 auf Nullstellen und Extrema Ich habe zwei Extremstellen ermittelt .
 X1= 0 und X2= (1+a)/2
Von X2 kann ich nicht den zugehörigen Y- Wert finden.
 Ich muss (1+a)/2 in die Funktion anstelle von x einsetzen. Irgendwie komme ich da aber nicht zu einem geeigneten Ergebnis. Bitte keine Denkanstösse oder Tipps. Ich habe es jetzt 3 Stunden gerechnet und komme nicht weiter. Einfach nur eine Lösung , die verständlich und nachvollziehbar wäre , das wäre super.Meine Rechnung, die aber falsch sein muss:
((1+a)/2)²- (a+1) x((1+a)/2)
 (2+a²)/4 - ((a+a²+1+a)/2)
 (2+a²)/4 - (-a-a²-1-a)/2
(2+a²)/4 - (-2a-a²-1)/2
(2+a²)/4- (-4a-2a²-2)/4

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 18

f _ a (x) = x ^ 2 - (a + 1) * x

Die Nullstellenberechnung führt auf die pq-Formel -->

f(x) = x ^ 2 + p * x + q

x _ 1, 2 = -(p / 2) -/+ √((p / 2) ^ 2 - q)

p = -(a + 1)

q = 0

p / 2 = - a / 2 - 1 / 2 = - (a / 2 + 1 / 2)

(p / 2) ^ 2 = (- (a / 2 + 1 / 2)) ^ 2 = a ^ 2 / 4 + a / 2 + 1 / 4

x _ 1, 2 = - (- (a / 2 + 1 / 2))  -/+ √(a ^ 2 / 4 + a / 2 + 1 / 4)

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Probe -->

Nehmen wir mal an a wäre a = 2 dann -->

x _ 1, 2 = - (-(1 + 1 / 2)) -/+ √(1 + 1 + 1 / 4)

x _ 1, 2 = - (-1.5) -/+ √(2.25)

x _ 1, 2 = 1.5 -/+ 1.5

x _ 1 = 0

x _ 2 = 3

Die Probe stimmt.

Kommentar von DepravedGirl ,

Leider hast du deine Frage nachträglich bearbeitet, so daß meine Antwort jetzt natürlich falsch geworden ist ;-((

Kommentar von safka1 ,

Ich danke dir für die Lösung, nur leider hab ich gemerkt ich habe Nullstellen geschrieben und meinet Extrema. Ich hab zulang gerechnet und mein Kopf dreht sich, entschuldige bitte. Aber vielen Dank für deine ausführliche Antwort

Kommentar von DepravedGirl ,

Ok, gerne :-)) !

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 31

Nullstellen

x² -(a+1)x = 0 ; jetzt x ausklammern

x(x-a-1)=0 also x1=0

und x-a-1=0 also x2=a+1

Kommentar von Ellejolka ,

und der y-Wert ist eh =0 bei den Nullstellen.

Kommentar von safka1 ,

Ohje , ich wollte Extremstellen schreiben sorry,ich schreibe so selten auf gute frage. Sorry ich meinte den ywert der Extremstelle, deren x wert (1+2)/2 ist . Das tut mir so leid, deine Antwort war so gut und logisch, aber ich meinte extremstellen . ich versuch die frage mal zu korrigieren

Kommentar von Ellejolka ,

Extremstellen

Ableitung ist  2x-(a+1) also 2x-a-1=0 also x=(a+1)/2

das jetzt einsetzen in f

y=(a+1)²/4 - (a+1) • (a+1)/2

y= (a+1)²/4 - (a+1)²/2 = -(a+1)² / 4

Kommentar von safka1 ,

Super das versteh ich , bis auf den letzten schritt . wenn ich Brüche subtrahiere muss ich sie doch gleichnamig machen, dh den zweiten bruch  mal 2 nehmen . und dann hänge ich , das gäbe
 y= (a+1)²/4 - (2a²+2)/4 
so und da hänge ich , ich weiss dein Ergebnis stimmt, aber ich komme nicht hin

Kommentar von Ellejolka ,

du darfs die 2 nicht in die Klammer setzen

(a+1)²/4 - 2(a+1)²/4 = -(a+1)²/4

Kommentar von safka1 ,

Super , ich danke dir tausend mal , aber ich hab noch die Frage warum ich das nicht ausrechnen darf also warum ich die 2 ausserhalb der klammer lassen muss und das nicht ausrechne? Müsste doch dann dasselbe rauskommen oder? 

Kommentar von Ellejolka ,

weil da 2(a+1)² steht, kannst du wegen ² die 2 nicht in die Klammer nehmen. Und mit Binom erst die Klammer lösen, dann die 2 multiplizieren, würde keinen Sinn machen, weil du es nicht mit dem 1. Term verrechnen könntest.

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