Frage von TSoOrichalcos, 95

Was für Lösungen kann die Gleichung haben? x=x^5

Was für Lösungen kann die Gleichung haben? Ich kam auf 0;1;-1;i;und -i. Kann man auch sagen Unendlich und -Unendlich wären Lösungen der Gleichung?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 61

Eine Gleichung vom Grad n (hier: 5) hat in den komplexen Zahlen genau n Lösungen. Wenn Du also 5 Lösungen gefunden hast...

Kommentar von TSoOrichalcos ,

Aber x^3=2 hat doch nur 1 Lösung oder? Müsste sie nicht 3 haben?

Kommentar von KDWalther ,

Hat sie auch :-)

Mit den Abkürzungen a = 2^(1/3), b = -1/2 und c = 1/2·3^(1/2):

x1 = a
x2 = a·(b + c·i)
x3 = a·(b - c·i)

Kommentar von TSoOrichalcos ,

Wie hast du die anderen beiden Lösungen berechnet?

Kommentar von KDWalther ,

Die Nachfrage hab' ich doch befürchtet :-))

Das setzt Kenntnisse über das Rechnen mit komplexen Zahlen voraus.

In diesem Fall war x1 = a ja klar.

Ich versuche die Herleitung der beiden anderen Lösungen mal nach "Kochrezept" darzustellen; mathematisch vielleicht nicht ganz ausgereift, aber in diesem Fall geht es so ganz gut (weil x1 reell ist).

Wir suchen ja insgesamt 3 Lösungen.
360° : 3 = 120°
x2 = a · (cos(120°) + i·sin(120°)
x3 = a · (cos(2·120°) + i·sin(2·120°)
[x1 = a · (cos(3·120°) + i·sin(3·120°) = a]

cos(120°) hatte ich b genannt, sin(120°) war mein c.

Kommentar von TSoOrichalcos ,

Vielen Dank ;)

Kommentar von TSoOrichalcos ,

Sorry, dass ich nochmal störe aber ich finde die 2. Lösung von x^2=0 nicht. Wenn ich x1=0 habe, dann wäre x2=x1*(e^ipi) aber das wäre ja wieder 0 und ich hätte nur eine Lösung.

Kommentar von KDWalther ,

Richtig!

x² = 0  <=> x·x = 0  <=> (x-0)(x-0)= 0

Und schon haben wir raus, dass x=0 eine sog. doppelte Nullstelle ist. Damit hast Du insgesamt zwei Nullstellen, aber nur "eine verschiedene". :-)

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 45

x⁵ - x = 0
x(x⁴ - 1) = 0 | x₀₁ = 0
x⁴ - 1 = 0
x⁴ = 1
x = ±√(±√(1))
x₀₂ = +√(+√(1)) = 1
x₀₃ = +√(-√(1)) = i
x₀₄ = -√(+√(1)) = -1
x₀₅ = -√(-√(1)) = -i

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra (+Anmerkung zur Vielfachheit) gibt es nicht mehr Lösungen. https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 62

x=x^5 | -x

0=x^5-x

0=(x^4-1)*x

x1=0

x^4-1=0 | +1

1=x^4 | vierte Wurzel

x2;3=+-1

Antwort
von mas19, 34

Da kann nur:

-1 , 0 , +1 , -i , +i

als Ergebnis rauskommen!

Kommentar von TSoOrichalcos ,

Aber (-unendlich)^5=-----(unendlich^5) aus -- wird + deshalb -----(unendlich^5)=++-(unendlich^5)=-(unendlich^5) unendlich^5=unendlich Daher kann man doch sagen dass -unendlich^5=-unendlich ist oder?

Antwort
von gvueukisj, 39

0, -1 und 1.

Sonst nichts.


(Minus) Unendlich? Setz mal ne sehr große oder kleine Zahl für x ein, die Gleichung stimmt nicht mehr.


Kommentar von TSoOrichalcos ,

Und i geht doch auch oder?

Kommentar von gvueukisj ,

Was is i? :D

Kommentar von TSoOrichalcos ,

i^2=-1

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