Frage von MarkMoser123, 34

(x^2(x-3)(x+3)+2)/(sin(x)^2)+cos(3x+6pi) =((-x^2(-x-3)(-x+3)+2)/(sin(-x)^2))+cos(-3x+6pi) nach x auflösen?

Hallo, wie immer danke allen, die sich die Mühe machen.

Die Aufgabe ist ((X^2(x-3)(x+3)+2)/(sin(x)^2))+cos(3x+6pi)=((-x^2(-x-3)(-x+3)+2)/(sin(-x)^2))+cos(-3x+6pi)

ich will damit beweisen, dass diese Funktion gerade ist, komme aber nach dem Ausmultiplizieren nicht wirklich weiter. Bisher habe ich ((x^4-9x^2+2)/sin(x)^2)+cs(3x+6pi)= ((x^4+9x^2+2)/sin(x)^2)+cs(3x+6pi) weiß aber nicht, wie ich das x aus dem Sin und dem cos rauslösen kann, um weiter zu vereinfachen

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 34

Du musst ja gar nicht nach x auflösen! Du willst ja zeigen, dass es sich um eine gerade Funktion handelt. Dazu musst Du ja "nur" zeigen, dass die beiden Terme gleichwertig sind.

Von der Beweistechnik her ist es evtl. einfacher, nur den Term f(-x) zu betrachten, diesen umzuformen und anschließend festzustellen, dass er mit f(x) identisch ist.

Da war ein kleiner Fehler in Deinem Term:
f(-x) = (((-x)^2(-x-3)(-x+3)+2)/(sin(-x)^2))+cos(-3x+6pi)

Nachfragen: Heißt es in der Mitte sin(x²) oder (sinx)²?
Und: Weißt Du schon, dass die Funktion gerade ist, oder ist das eine Vermutung/Behauptung von Dir?
Ist der Nenner nur der sin oder der gesamte Term inkl. cos?

Tipp: (x-3)(x+3) = x²-9

Kommentar von MarkMoser123 ,

Es soll (sinx)^2 heißen. Ich soll eigentlich prüfen, ob die Funktion gerade ist, habe mich da unklar ausgedrückt, sorry und danke für die Antwort

Kommentar von KDWalther ,

Okay, dann findest Du bei Melvissimo alles weitere...

Kommentar von MarkMoser123 ,

Die Antwort von Melvissimo ist zwar gut fürs Verständnis, aber trotzdem muss ich es ja mathematisch zeigen und ich komme nicht drauf, dass für beide Funktionen dasselbe rauskommt. :-(
Mich stört immer ein Vorzeichen, und weiß auch nicht, was (sin(x))^2 ist bzw wie ich damit rechnerisch umgehe. Leider fehlen mir viele Grundlagen, was sicher auch daran liegt, dass ich leider erst an der Realschule war.

Kommentar von KDWalther ,

Gut, dann mal Schritt für Schritt:

f(-x) = ((-x)²(-x-3)(-x+3)+2)/(sin(-x))²+cos(-3x+6pi)
  = (x²(x² - 9)+2)/(sin(-x))²+cos(-3x-6pi)    [Periodizität von cos]
  = (x²(x² - 9)+2)/(-sin(x))²+cos(-3x-6pi)   
                                   [sin ist eine ungerade Fkt., also sin(-z)=-sin(z)]
  = (x²(x² - 9)+2)/(sin(x))²+cos(-(3x+6pi))
  = (x²(x² - 9)+2)/(sin(x))²+cos(3x+6pi)   
                                                  [cos ist gerade, also cos(-z)=cos z]
  = (x²(x-3)(x+3)+2)/(sin(x))²+cos(3x+6pi)
  = f(x)  !!  q.e.d.

Antwort
von Peter42, 34

meine erste Idee wäre, einfach "cos(3x+6pi)" zu subtrahieren, und im Folgenden mit "sin(x)^2" zu multiplizieren - dann bist du den "unhandlichen" Winkelfunktionsgerümpel nämlich los.

Kommentar von MarkMoser123 ,

stimmt, danke, ich bin nach langen Tagen abends einfach nicht mehr so Mathe-fähig ;-)

Kommentar von hypergerd ,

Ja, dann bekommt man die einfache Gleichung

2*x^4-18*x^2 = 0

heraus, die man fast schon im Kopf lösen kann. (3 Nullstellen, wobei eine doppelt ist)

ABER Vorsicht: Sonderfall x=0

ergibt Polstelle auf beiden Seiten, die Lehrer meist ausgeklammert haben möchte.

Antwort
von Melvissimo, 34

Beachte:

(x² * (x-3)(x+3) + 2) / (sin(x)²) + cos(3x + 6pi)

= (x² * (x² - 9) + 2) / sin²(x) + cos(3x + 6pi).

Fakt ist: Der Zähler des linken Summanden ist ein Polynom, das nur gerade Exponenten enthält, ist also eine gerade Funktion.

Der Nenner ist das Quadrat einer ungeraden Funktion, also gerade. 

Somit ist auch dieser Quotient eine gerade Funktion. 

Ferner bemerken wir, dass cos(3x + 6pi) nichts weiteres ist als cos(3x), was ebenfalls eine Gerade Funktion ist. 

Die Summe zweier gerade Funktionen ist wieder gerade, also ist deine Funktion gerade.

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