Frage von BibiMausi12, 18

X1 ist -3,5 x2 ist 2,5 ich soll eine funktionsgleichung bestimmen und diese in der Scheitelpunkt darstellen?

Antwort
von JTR666, 18

Ganz einfach:

Wenn du deine Nullstellen gegeben hast, gilt ja die Form (x-X1)*(x-X2) = f(x), denn wenn du für x eine der beiden Nullstellen einsetzt kommt für f(x), also für y, immer null heraus, denn einer der beiden Faktoren ist immer 0 und 0 mal irgendwas ist immer 0.
Ich hoffe ich konnte dir helfen!

JTR

Kommentar von JTR666 ,

Also ist das bei dir (x - (-3,5))*(x - 2,5) = (x+3,5)*(x-2,5) = x² + x - 8,75.
Und jetzt gilt ja die allgemeine Scheitelpunktsform a(x-d)² + e

Kommentar von BibiMausi12 ,

Ich hab jetzt (x + 3,5) • (x - 2,5) und verstehe nicht wie es weiter geht

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Du multiplizierst das aus. 

Kommentar von JTR666 ,

Ganz einfach: Jetzt kannst du den Ausdruck ganz normal ausmultiplizieren. x*x - x*2,5 + 3,5*x - 3,5*2,5.
Das ist dann ja x² + (-2,5 + 3,5)x - 8,75 und das wiederum ergibt x² + x - 8,75.
Jetzt hast du ja deine Scheitelpunktsform a(x-d)² + e.
a ist ja der Faktor, der vor deinem x² steht. In unserem Fall steht nichts davor, also ist a = 1.
Somit haben wir (x-d)² + e.
Jetzt gelten ja die ersten beiden binomischen Formeln (a+b)² = a² + 2ab + b² und (a-b)² = a² - 2ab + b².
Jetzt gucken wir, ob in unserer Funktionsvorschrift der zweite Summand hinzuaddiert oder abgezogen wird, also ob davor ein + oder ein - steht.
Wir haben ja x² + x, also steht vor dem x ein +, weswegen wir die erste binomische Formel anwenden müssen.
Jetzt irritiert es natürlich, dass vor der 8,75 ein -, aber bei der 1. binomischen Formel ein + vor dem b² steht.
Jetzt wenden wir einen simpelen Trick an:
Wir können ja erst mal sagen, dass unser x² dem a² aus der binomischen Formel entspricht. Also haben wir schon mal gesagt, dass x = a ist.
Jetzt müssen wir nur noch unser b bestimmen.
Dazu gehen wir einfach zu unserem zweiten Summanden, also zu unserem x in der Funktionsvorschrift, und sehen ja, dass da eigentlich noch der Faktor 1 vorsteht. (Den wir bisher nur nicht aufgeschrieben haben, da 1 * irgendwas immer irgendwas ist.)
Der zweite Summand aus der binomischen Formel ist 2ab.
Jetzt setzen wir einfach 1*x = 2ab
Da ja a = x ist, folgt daraus 1*x = 2xb
Jetzt heben sich die x auf beiden Seiten gegenseitig auf, und wir haben nur noch 1 = 2b dort stehen.
Und daraus folgt, dass 0,5 = b ist.
Nun geht es weiter:
Wir haben ja jetzt gesagt, dass (a+b)² = (x+b)² = (x+0,5)² ist.
Ausmultipliziert ergibt sich daraus also x² + 2*x*0,5 + 0,5² = x² + x + 0,25.
Aber unser f(x) war ja x² + x - 8,75 woran du sehen kannst, dass die 0,25 zu viel sind, weswegen du sie sofort wieder abziehen musst.
Du brauchst sie nur, damit du einen Ausdruck in der Klammer deiner Scheitelpunktsform hast, welcher dein x² und dein x in eine quadratische Klammer bringt.
Denn du siehst selber, dass wir durch (x + 0,5)² wunderbar wieder x² + x erhalten. Aber sie bringt ja wie gesagt noch die 0,25 mit sich, welche zu viel sind.
Diese müssen wir also wieder abziehen.
Somit haben wir also x² + x + 0,25 - 0,25 - 8,75 = f(x)
Die ersten 3 Therme ergeben ja (x + 0,5)².
Somit ist f(x) nichts anderes als (x + 0,5)² - 0,25 - 8,75.
Die letzten beiden Therme lassen sich noch zu -9 zusammenfassen.
Somit ist f(x) = (x+0,5)² - 9.

Ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich erklärt! :/

Ach ja: unser b ist das d aus der Scheitelpunktsform a*(x-d)² + e.

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