Wurzeln komplexer Zahlen?

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1 Antwort

Auf jeden Fall solltest Du erst einmal z⁴ in Polarkoordinaten ausrechnen. Zunächst einmal ist

(1) |z⁴| = √{(–4)²+(√48})²} = √{16 + 48} = 8,

und somit ist Dein r schon mal korrekt.

Um die Polarwinkel von zₙ zu errechnen, braucht man den Polarwinkel von z⁴, und zwar als Winkel zwischen 0° und 360°. Natürlich ist es 4φ, denn bei Multiplikation addieren sich die Winkel, und auch die anderen Potenzgesetze finden Anwendung:

(2) e^{4jφ} = (e^{jφ})⁴.

Bleibt noch die Frage, wie man den Polarwinkel ausrechnet: Zum Beispiel

(3) Im(z⁴)/Re(z⁴) = tan(4φ),

es sei denn, Re(z⁴) wäre gleich 0, aber dann ist klar, dass der Winkel 90° oder 270° betragen muss, je nachdem, ob Im(z⁴) positiv oder negativ ist.

In diesem Fall ist allerdings der vereinfachende Umstand im Spiel, dass der Betrag des Realteils gerade die Hälfte des Betrages von z⁴ ist, und ½ ist der Sinus von 30° bzw. der Cosinus von 60°, aber auch von 120°.

Da der Imaginärteil positiv und der Realteil negativ ist, liegt der Winkel im zweiten Quadranten und beträgt also 120°. Die anderen Winkel kann man sich damit ganz leicht ausrechnen:

(4) φᵢ = (4φ₁ + (i – 1)·360°)/4 = φ₁ + (i – 1)·90°,

i = 1,2,3,4 und φ₁ = 30°.

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