Frage von Schachpapa, 99

Wurzel rational?

Gibt's eigentlich außer Wurzelziehen eine Möglichkeit, einer Zahl wie 1,69 - nur mit viel mehr Nachkommstellen - anzusehen oder sonstwie zu überprüfen, dass die Wurzel rational ist? Z.B. bei der Dezimalbruchdarstellung von 256/81

3,160493827160493827160493827160....

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 49

Ich kenn jetzt auf Anhieb keine... Liegt aber vielleicht einfach daran, dass ich nie in Dezimaldarstellung arbeite.

Ansonsten: Wenn die Wurzel x von y rational ist, muss auch x² = y rational sein. Also kannst du versuchen, y als Bruch ganzer Zahlen darzustellen.

Ist dir das gelungen, kannst du mittels euklidischem Algorithmus den Bruch vollständig kürzen und dann brauchst du nur noch zu prüfen, ob sowohl Zähler als auch Nenner eine Quadratzahl sind.

Kommentar von Schachpapa ,

Je länger ich drüber nachdenke:

Entweder ich bekomme die Zahl als abbrechenden Dezimalbruch ("Näherung") oder als nichtabbrechenden mit Periode geliefert.

Im ersten Fall ziehe ich die Wurzel und gucke, ob's glatt aufgeht z.B. mit Heron oder https://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliches_Wurzelziehen Da es evtl. nur eine Näherung ist, kann ich auch nur eine näherungsweise richtige Antwort geben.

Im zweiten Fall weiß ich die Periodenlänge und kann in einen Bruch mit Nenner 999... umwandeln. Den kann ich ggf. kürzen und - so wie du es beschrieben hast - auf Quadratzahleigenschaft von Zähler und Nenner prüfen.

Beide Verfahren sind effizient durchführbar.

Danke. Verwirrung aufgelöst ...

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 35

Ich würde einfach versuchen, die Irrationalität der Zahl zu beweisen.

Funktioniert das nicht, so ist die Zahl rational.

"Ansehen" kann man es ihr eigentlich nicht, höchstens die Dezimaldarstellung betrachten und Wiederholungen erkennen.
Dies ist aber keine sichere Vorgehensweise.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 45

Du erkennst es an der Periode. Dieses "Erkennen" ist aber keine wissenschaftliche Methode. Theoretisch kann auch 1000 mal die Periode hinter dem Komma kommen und dann etwas anderes.

Aber für die Schulmathematik reicht es aus, wenn du meinst, eine Periode erkennen zu können.

... Achso, damit erkennst du, ob die Zahl rational ist. Das beantwortet aber natürlich nicht deine Frage :/ ...

Kommentar von Varlor ,

Man kann das auch daran erkennen, dass  bei einer schriftlichen Division immer wieder der gleiche Rest auftaucht. Und das ist sehr wohl wissenschaftlich: Die Modulooperation!

Antwort
von lks72, 40

Einer Dezimalzahl lässt sich nicht so direkt ansehen, ob die Wurzel rational ist, man kann aber die Zahl selbstveständlich in einen Bruch umwandeln

1,69 = 169 / 100 hat eine rationale Wurzel, weil 169 UND 100 Quadratzahlen sind. 16,9 = 169/ 10 hat keine rationale Wurzel , weil 169 eine Quadratzahl ist UND 10 nicht. Man sieht an diesem einfachen Beispiel, dass man aufpassen muss.

Antwort
von Varlor, 12

Merke dir folgendes:

Eine Zahl x ist rational <=> Es existieren a Element von Z und b Element von N mit x=a/b.

Wenn du die Zahl als Bruch darstellen kannst, musst du im Zähler und im Nenner die Wurzel ziehen. Wenn im Zähler und Nenner dann Rationale Zahlen stehen, ist die ursprüngliche Zahl auch Rational.

Merk dir am besten einige irrationale Zahlen wie Wurzel(2) und die Regel a*b mit b=irrational und a =rational ist auch irrational.

--> sqr(0.0555...)=sqr(1/18) = 1/(3*sqr(2)) --> nicht rational

Antwort
von MacWallace, 35

Hallo,

also soviel ich weiß nur, wenn man weiß ob die Zahl ein Quadrat ist.

LG Dr Blex

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 19

Wenn du die Bruchdarstellung hast, ist es ein Klacks. Denn du brauchst ja nur Zähler und Nenner daraufhin zu überprüfen, ob sie Quadrate sind. 256 und 81 sind welche, also ist der Bruch rational, aber sicher periodisch.
Mein Rechner hat auch deine Zahl beim Wurzelziehen auf 16/9 gebracht (mit Runden vermutlich, denn ich habe keine Periode eingegeben).

Aber ohne maschinelle Hilfe ist bei einer reinen Dezimaldarstellung nichts zu machen.

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