Frage von Xihangg, 42

Wurzel aus 2 irrational - Indirekter Beweis (kleines Verständnisproblem an der Voraussetzung)?

Q = { p/q l p,q in Z und q =/ 0 }

Beispielsweise ist 8/2 eine rationale Zahl, sowie 6/2 usw...

Im Beweis wird die Voraussetzung gegeben das Zähler und Nenner teilerfremd sind, diese verstehe ich ja. Wenn der Bruch eben vollständig gekürzt sind. Dafür muss auch mindestens Nenner oder Zähler ungerade sein. Jetzt beweist man ja das Zähler und Nenner gerade sind. Wieso ist das genau ein Widerspruch? Kann ja dennoch sowas wie 8/2 sein... Stehe aufm Schlauch.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Naydoult, 13

Q = { p/q l p,q ∈ Z ∧q ≠ 0 }

8/2 ist eine rationale Zahl und lässt sich kürzen. Ein vollständig gekürzter Bruch hat niemals gerade Zahlen als Nenner und Zähler. Mindestens einer von ihnen ist ungerade. Zudem sind sie dadurch teilerfremd. Heißt sie haben keinen gemeinsamen Teiler:

T(p) ∩ T(q) = { 1 }

Das ist jedoch nur für Alle der Fall, wenn jener Bruch vollständig gekürzt ist.

√2 ist irrational, der klassische Beweis von Euklid, zeigt eben das wenn angenommen wird √2 sei eine rationale Zahl, dies zu einen Widerspruch führt.

Wir nehmen an:

√2 ∈ Q ∧ p,q ∈ lN (1)

√2 = p/q l ( )² (2)

2 = p²/q² (3)

2*q² = p² (4)

=> Folglich ist p eine gerade Zahl, da das zweifache einer Zahl immer gerade ist. Außerdem ist eine "quadrierte" gerade Zahl ebenfalls gerade. (5)

=> p lässt sich also als 2*k darstellen, wobei k ∈ lN ist. (6)

p = 2*k (7)

Wir setzen in (4) ein. (8)

Es ergibt sich: 2*q² = (2*k)² (9)

2*q² = 4*k² l : 2 (10)

q² = 2*k² (11)

=> Folglich ist q eine gerade Zahl, das das zweifache einer Zahl immer gerade ist. Außerdem ist eine "quadrierte" gerade Zahl ebenfalls gerade. (12)

=> p und q sind also gerade Zahlen. Bei (4) zeigten wir das p gerade sein muss und in (11) das q gerade ist.

=> p und q sind also nicht teilerfremd, der Bruch aus den zwei geraden Zahlen ließe sich nicht kürzen. Die Eigenschaft T(p) ∩ T(q) = { 1 } ist nicht erfüllt.
√2 ließe sich niemals als gekürzten Bruch darstellen, man könnte meinen wir haben einen Bruch der sich unendlich lang kürzen ließe. Solch ein Bruch existiert allerdings nicht!

Das ist der Widerspruch.

Es ist reine Definitionssache. Wir haben die rationalen Zahlen eben so definiert. Es existiert kein Bruch der sich unendlich lang kürzen ließe.

Ich hoffe ich konnte helfen.

Antwort
von gfntom, 28

Deine Voraussetzungen sind: p und q teilerfremd, also mindestens p oder q ungerade, wie du auch sagst.

Im Zuge der Überprüfung kommt man aber darauf, dass - wenn es einen Bruch gibt der Wurzel aus 2 ausdrückt - beide Zahlen gerade sein müssen!

Das ist eben ein Widerspruch zu der Voraussetzung.
Selbst ohne diese Voraussetzung: du hättest einen Bruch bei dem Zähler und Nenner gerade sind, um Wurzel(2) darzustellen. Du kannst den aber nicht soweit kürzen, dass mindestens ein Wert davon ungerade ist, weil er dann eben nicht mehr Wurzel(2) darstellen kann(!).

So einen Bruch kann es nicht geben...

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 18

"Wieso ist das genau ein Widerspruch?"

Sind Zähler und Nenner gerade, so sind sie NICHT teilerfremd, da sie durch 2 teilbar sind. ;)

Da das aber vorausgesetzt wurde, ist das der Widerspruch. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Kommentar von Xihangg ,

Ja weiß ich doch, aber 8/2 ist genauso ne rationale Zahl wie 6/3 oder was auch immer. Widerspruch zeugt doch nur das Zähler und Nenner nicht teilerfremd sind, 8 und 2 in 8/2 sind ja auch net teilerfremd. Muss doch einen Sinn haben wieso das vorausgesetzt wird, sonst könnte ich mir ja alles irgendwie definieren, voraussetzen und logisch in sich beweisen...

Kommentar von Willibergi ,

Aber bei 8/2 behauptet ja keiner, dass sie irrational ist.

Du kannst jede rationale Zahl als vollständig gekürzten Bruch, bei dem Zähler und Nenner teilerfremd sind, darstellen.

8/2 ist eine rationale Zahl und als 4/1 darstellbar - 4 und 1 sind teilerfremd.

Bei √2 geht das eben nicht. 

LG Willibergi

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