Frage von maxim008, 60

Würde mir bitte jemand paar Fragen zum Newton-Verfahren beantworten?

Hallo,

Das Newton-Verfahren ist doch diese Formel:

x_n + 1 = x_n - f(x_n) / f´(x_n)

Meine Fragen sind nun, wieso steht da diese "1"? Also bei xn + 1. Da muss man doch einfach den Startwert x0 nehmen und fertig, natürlich nahe der Nullstelle. Aber wieso +1?

Dann, wieso muss man f(x) und f´(x) dividieren und es dann vom Startwert abziehen. Ich weiß, dass man beim Newton-Verfahren Tangenten anlegt, um so die Nullstelle herauszubekommen, aber warum dividiert man diese beiden Funktionen? Die Lösung, die dann aus dieser Division herauskommt, was ist das? Was für eine Bedeutung hat sie?

Jetzt meine letzte Frage, was bedeudet f: ℝ → ℝ

Also, dass es eine differenzierbare Funktion ist, weiß ich, aber ich möchte ganz detailliert wissen, was in dem Fall "f" bedeudet. Ich kenne nur f(x), aber hier steht das f alleine. Und was bedeudet in diesem Fall der Doppelpunkt : ? Und zu guter letzt, was heißt ℝ → ℝ? Etwa, dass eine reelle Zahl zu einer reellen Zahl wird, oder wie?

Tut mir Leid für diese dummen Fragen, aber ich muss bald eine GFS über das Newton-Verfahren halten, und da muss ich der Klasse alles so detailliert wie möglich erklären.

Ich hoffe ihr helft mir trotzdem :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ProfFrink, 21
Jetzt meine letzte Frage, was bedeudet f: ℝ → ℝ

Meine Fragen sind nun, wieso steht da diese "1"? Also bei xn + 1. Da
muss man doch einfach den Startwert x0 nehmen und fertig, natürlich nahe
der Nullstelle. Aber wieso +1?

Du hast Recht: Du nimmst einen Startwert nahe der vermuteten Nullstelle. Dieser Startwert hat den Namen x0. Dabei ist die 0 dein Zählindex. Du setzt den Startwert in Deiner Formel an der Stelle x_n ein. Als Ergebis erhälts Du x1, die nächste Annäherung an die tatsächliche Nullstelle. Schau Dir auch das Bild an. Es sind x_n und x_n+1 eingezeichnet. Für den ersten Iterationsschritt heissen diese beiden Stellen x_1 und x_0. 

Dann, wieso muss man f(x) und f´(x) dividieren und es dann vom Startwert
abziehen. Ich weiß, dass man beim Newton-Verfahren Tangenten anlegt, um
so die Nullstelle herauszubekommen, aber warum dividiert man diese
beiden Funktionen? Die Lösung, die dann aus dieser Division herauskommt,
was ist das? Was für eine Bedeutung hat sie?

Auch hier hilft wieder der Blick auf das Bild. Erst hast Du die Kurve f(x). Dann wählst Du Deinen Startwert. Das ist im Bild der Punkt xn. Dann musst Du einen Weg finden den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse zu berechnen. Der Schnittpunkt heisst x_n+1.

Im Prinzip stellst Du ab jetzt zwei verschiedene Formulierung für die Steigung im roten Punkt auf. Die Steigung der roten Kurven im Punkt x_n heisst  f '(x_n). Es ist die Ableitung im Punkt x_n

Die Steigung der Tangenten ist gegeben durch das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Also

Steigungsdreieck der Tangenten =  f(x_n) / (x_n+1  -  x_n)

Und nun setzt Du beide Steigungen gleich, denn sie sind ja auch gleich.

f '(x_n) = f(x_n) / (x_n+1  - x_n)

Löse die Gleichung nach x_n+1 auf .. und .. tadaa  ..  fertig ist Dein Newtonverfahren. Das hättest Du auch selbst erfinden können.

Antwort
von ProfFrink, 19

Jetzt meine letzte Frage, was bedeudet f: ℝ → ℝ

Das bedeutet, dass Du eine Funktion hast die Werte aus der Menge der reellen Zahlen auch wieder in der Menge der reellen Zahlen abbildet.

Zu deutsch: Du gibts krumme Zahlen rein und es kommen krumme Zahlen raus.

Und f steht ganz allgemein für Funktion oder fein ausgedrückt: Abbildungsvorschrift. Dass es nicht f(x) heisst kann so interpretiert werden, dass noch nicht einmal vorgeschrieben ist, wie die Variable heisst. Du könntest auch mit u_n und u_n+1 den gleichen Algorithmus aufbauen.

Antwort
von Jupsidu, 34

Es muss eigentlich x(n+1) heißen, also der nächste Iterationswert den du berechnest. R auf R heiß dass eine reelle Zahl auf eine reelle Zahl abgebildet wird, also das Ergebnis wieder eine Zahl ist

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 25

n+1 ist nur ein Index (also klein am x geschrieben und bedeutet der Nachfolger von x(n) mit n klein geschrieben.

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