Frage von XxbloomxX, 38

wozu dient die spannweite und die standardabweichung in der Statistik?

also ich weiss wie man das alles rechnet aber wozuuu dient das ????

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 22

Hallo,

die Standardabweichung ist sehr nützlich, wenn man wissen möchte, welche Abweichungen vom Erwartungswert noch im Rahmen liegen und welche auf einen Fehler hinweisen.

Beispiel: Wenn Du mit einem normalen Würfel würfelst, ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, 1/6. Wenn Du sechsmal würfelst, erwartest Du also, daß eine 6 dabei ist, denn 6*1/6=1.

Natürlich weiß jeder Spieler, daß es dafür keine Garantie gibt. Wenn also bei 6 Würfen keine 6 dabei ist oder sogar drei Sechsen fallen, regt das niemanden besonders auf.

Wenn Du sechsmal würfelst und es fällt jedesmal die Sechs, könnte ein leiser Verdacht aufsteigen, daß mit dem Würfel eventuell irgendetwas nicht stimmt.

Jetzt willst Du es genau wissen. Du weißt- oder solltest wissen - daß sich Ergebnisse eines Zufallsexperimentes immer mehr dem Erwartungswert nähern, je öfter das Experiment wiederholt wird.

Wenn Du nun nicht sechsmal, sondern 120mal würfelst, erwartest Du mit einigem Recht um die 20 Sechsen. Würfelst Du gar 1200mal, würdest Du auf ein Ergebnis setzen, das nicht weit entfernt von 200 Sechsen ist.

Natürlich können es auch 190 oder 210 sein - die Frage ist eben: Wieviel Abweichung von der 200 ist noch normal und ab wann muß man zum Schluß kommen, daß der Würfel getürkt ist?

Dazu dient nun die Standardabweichung. Sie ist überall da vertreten, wo Ergebnisse eines Experimentes normalverteilt sind, wo sich also die meisten Ergebnisse beim Erwartungswert tummeln und es immer weniger werden, je weiter man sich vom Erwartungswert entfernt. Du würdest also - wenn Du sehr viele Reihen von 1200 Würfen auswürfelst, die meisten Ergebnisse in der Nähe von 200 Sechsen erwarten, aber keins oder nur sehr wenige bei Null oder gar 1200 Sechsen - das wäre einfach äußerst unwahrscheinlich, wenn auch nicht unmöglich.

Die Standardabweichung bei diesen 1200 Würfen liegt bei der Wurzel aus
200 (Erwartungswert) mal 5/6 (die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem Wurf keine 6 geworfen wird, sondern eine der fünf anderen Zahlen.

Die Wurzel aus 200 mal 5/6 ist die Wurzel aus 1000/6, also etwa 13.

Das bedeutet: 68,3 % aller Durchgänge von 1200 Würfen haben 200-13=187 bis 200+13=213 Sechsen aufzuweisen. 

Wird um das Doppelte, also um 26 vom Erwartungswert abgewichen, liegen sogar 95,5 % aller Werte in diesem Bereich, also hier zwischen 174 und 226 Sechsen bei 1200 Würfen.

Beim Dreifachen - 39 - sind es gar 99,7 %.

Wenn Du 1200 mal würfelst und weniger als 161 oder mehr als 239 Sechsen darunter hast, befindest Du Dich in einem Wahrscheinlichkeitsbereich von nur noch 0,3 %. Hier müßtest Du spätestens von einem manipulierten Würfel ausgehen.

Die Standardabweichung ist also eine große Hilfe, um bei statistisch ermittelten Werten zu prüfen, ob eine normale Abweichung vom Erwartungswert vorliegt oder ob hier mehr als nur der Zufall eine Rolle spielt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von XxbloomxX ,

Danke das hat mir aufjedenfall weitergeholfen !!! aber was ist mit der spannweite ?

Kommentar von Willy1729 ,

Die sagt Dir, wie dicht die Werte zusammenliegen bzw. innerhalb welchen Bereiches sich die Werte bewegen. Wenn Du zum Beispiel einen Urlaubsort hast, an dem in den letzten hundert Jahren zwischen 320 und 340 Sonnentagen registriert wurden (sehr geringe Spannweite) wirst Du wohl weniger mit einem verregneten Urlaub zu rechnen haben, als wenn es zwischen 30 und 340 Sonnentagen waren, denn dann ist zwischen drei Wochen Dauerregen bis drei Wochen Sonne pur alles zu erwarten.

Kommentar von XxbloomxX ,

achso perfekt, Danke nochmals

Antwort
von ProfFrink, 18

Naja, wenn Du vielleicht 80 Jahre alt bist und von einem Durchschnittsalter von 78 Jahren weist, kommst Du vielleicht doch ins Grübeln und fragst nach der Standardabweichung. Und mit dieser Standardabweichung kannst Du dann sogar ausrechnen wieviele Deiner ehemaligen Klassenkameraden noch zum nächsten Klassentreffen erscheinen.

Und falls Du dann sogar der einzige Gast sein solltest, dann lohnt ein Blick auf die Spannweite.

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