Frage von Lumpi101, 17

Wozu braucht man Kalküle?

Kalküle sind, wenn ich das richtig verstanden haben, formale Systeme, mit denen man Beweise führen kann.

z.B. das Hilbert-Kalkül in der Aussagenlogik: Ich kann nun das Hilbert-Kalkül verwenden, um einen Beweis zu führen (was recht aufwendig sein kann) oder ich nehme mir einfach die Wahrheitstabellen der grundlegenden Junktoren und leite mir das ganze daraus her. Dieser Beweis wäre nicht formal, aber kann trotzdem korrekt und nachvollziehbar sein. Wozu also ein Kalkül? Ist ein Kalkül-Beweis "mehr Wert" als einer, der keinen Kalkül verwendet?

Dann noch folgendes: man benutzt gerne das Deduktionstheorem, um damit das Hilbert-Kalkül zu "ergänzen" (im Sinne von: es wird einfacher, Formeln herzuleiten). Dieses Deduktionstheorem kann nun nicht mithilfe des Hilbert-Kalküls bewiesen werden (da es sich auf einer Metaebene befindet). Stattdessen wird dieses Theorem ohne Kalkül bewiesen und dann aber trotzdem innerhalb von Hilbert-Kalkül-Beweisketten verwendet. Damit sind solche Beweise doch auch nicht mehr (ausschließlich) durch das Hilbert-Kalkül geführt. Oder täusche ich mich da?

Antwort
von kreisfoermig, 12

In der ersten Linie, um MetaanaIysen durchzuführen. In der (mathematischen) Logik geht es eben darum, Logiken zu untersuchen: das kann man am besten, indem man diese als Systeme erfasst.

Darüber hinaus gibt es Anwendungen in der Informatik und Mathematik. In Mathematik: Modelltheorie. In Informatik, man kann manche diese Systeme wirklich umsetzen um mit Daten besser umgehen zu können.

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Du verstehst das DThm falsch: Das ist ein Metatheorem…im Hilbertkalküle. Manche Kalküle (wie Fitchsysteme) bauen diese Regel ein. Wie gesagt, man will ja diese Kalküle *untersuchen*. Im Falle des DThm für HK ist das Spannende dabei, dass wir es bekommen, ohne es von dem Kalkül zu verlangen.

Das DThm wäre *so oder so* kein Theorem im Kalkül—das hast du falsch verstanden. Es besagt etwas über den Kalkül. *Genauso* ist Modus Ponens kein Theorem im Kalkül. MP und DThm sind sogenannte **Beweis-/Ableiungsregeln**.


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