Frage von Francos2, 47

Wozu benötigt man eigentlich die Umformung von log in den ln (natürlichen Logarithmus )?

Antwort
von ProfFrink, 46

Hallo Francos2,

die Frage stellt sich eher umgekehrt. Wozu benötigt man die Umformung vom natürlichen Logarithmus in den log, wobei ich mal unterstelle dass Du den dekadischen Logarithmus, also den zur Basis 10 meinst.

Und damit sind auch schon beim Thema. Man sollte zunächst mal die Frage stellen, wozu braucht man überhaupt den Logarithmus? Man abgesehen davon, dass man damit die Kinder in der Schule quälen kann hat er auch noch eine nützliche Bedeutung: Es ist einfach die Umkehrfunktion zum Potenzieren. Wenn man Aufgaben wie folgende hat:

10 hoch x = 100    oder   10 hoch x = 1000. Dann weiss jeder dass einmal x=2 und das andere mal x=3 herauskommt. Schwierig wird es schon wenn in folgender Gleichung x bestimmten will:

     10 hoch x = 500

Dann weiss man erst einmal nur, dass die Wahrheit irgendwo zwischen x =2 und x=3 liegt. Vielleicht bei x = 2,5 ? Tippt man 10 hoch 2,5 in den Taschenrechner ein, dann kommt  316,2 und nicht 500 heraus. Also ist x=2,5 zu tief gegriffen. Gäbe es keine Logarithmen müssten man lange herumprobieren bis man die Lösung getroffen hat. Mit der Abfrage Log(500) spuckt der Rechner sofort die richtige Lösung x=2,699 heraus.

Jetzt haben wir uns die ganze Zeit mit Potenzen zur Basis 10 befasst. Und was ist mit Potenzen zur Basis 2?

2 hoch 10 =  1024            2 hoch 3 = 8           

2 hoch x = 32          Wie lautet x?

Die Zahl 32 ist ein alter Bekannter. Natürlich kommt x = 5 heraus.

Aber sieht x aus, wenn es heisst   2 hoch x = 30.

Hier muss man den Logarithmus zur Basis 2 nehmen. Also

Log(2) von 30 = 4,907   

Aber wo ist bloss die Log(2) Taste auf dem Taschenrechner (*grübel)

Grundsätzlich muss es möglich sein jede Art von Potenzgleichung mit unbekannten Exponenten mit Logarithmen zu berechnen. Also auch Aufgaben der Art

23,5 hoch x = 100,87

Lösung: Log(23,5) 100,87 = 1,461

 (sprich Logarithmus zur Basis von 23,5 von 100,87 gleich)

Kommen wir zum natürlichen Logarithmus. Es der Logarithmus zur Basis

2,7182818284590452353602874713527..

Es handelt sich um eine ganz besondere Zahl, die man mit e bezeichnet.

Als eine Aufgabe der Art   e hoch x = 120 löst man mit dem Aufruf

log(e) 120 = 4,787   oder einach mit

ln(120). Diese Taste gibt es dann wieder auf dem Taschenrechner *schweiss von der Stirn abwisch*

Und noch ein Geheimnis: Will man wirklich auf dem Taschenrechner mal eine Aufgabe der Art  2 hoch x = 30 ausrechnen, dann geht das so

ln(30)/ln(2)= 4,907 . Damit will ich sagen, dass der natürliche Logarithmus den Zugang zu allen anderen Logarithmen bereitstellt. Sogar zu dem geliebten dekadischen Logarithmus. Wenn Du in den Taschenrechner log(2) eintippst, dann rechnet der Taschenrechner intern den ln(2) aus und teilt das Ergebnis dann durch den Wert von ln(10). Dieser Wert (2,302..) ist als Festwert fest einprogrammiert.

Ende der Privatvorlesung

Antwort
von gilgamesch4711, 21

  De Frankfotter sescht ja:

   " Du sollst net beantwotte ene jede Fraach mittene Geeschefraach. "

   Mal Hand auf die hohle Heldenbrust; weißt du überhaupt schon, was ===> Differenzialrechnung ist? Der ( natürliche ) Logaritmus ist DEFINIERT als Aufleitung der Normalhyperbel f ( x ) = 1 / x

   Weiß ich alles aus dem Telekolleg.

   Ist dir bekannt, dass alle Logaritmensysteme proportional sind? Insofern benötigst du neben den natürlichen gar keine anderen Logaritmen.

   Stell dir vor, ich nehm dir jetzt deinen arroganten TR weg. Kennst du die SF Story ===> Der Minimalforscher?

   Ich drücke dir also eine ===> Logaritmentafel in die Hand. Hast du schon mal eine gesehen? Es handelt sich um ein Tabellenverzeichnis aller ( dekadischen ) Logaritmen. Wieso dekadisch; was meinst du?

   Und? Könntest du damit umgehen? Ich meine; hast du schon mal gesehen ====> Raumpatrouille ( Commander " Alastair Mc. Lane ) ? Als da jemand ===> Homer rezitiert, meint Mc. Lasne

  " Aha; ein Kenner. Präatomare Literatur ... "

   Genau so ist das auch. Kleiner IQ-Test; Homer verhält sich zu Logaritmentafel wie Goethe zu TR .  Ich will dir mal bissele Respekt einflößen vor Homer und vor der Logtafel ...

Kommentar von ProfFrink ,

Hallo gilgamesch4711,

Du bist ja ein spaßiger Typ. Nichts gegen die Logarithmentafeln. Sie sind nur einfach nicht mehr zeitgemäß. Ein kleiner Taschenrechner oder noch besser eine App auf dem Smartphone erspart mir das Mitschlippen eines ganzen Tabellenheftes. Das ist der eine Nachteil. Zweiter Nachteil: Logarithmentafeln haben große Lücken. Die muss man mit Interpolieren füllen. Igitt. Und wie wird interpoliert? Natürlich linear. Heißt: Aus einer weichen Kurve wird ein Gebilde mit Ecken und Kanten. Es lohnt auch nicht noch mehr Mühe in die Interpolation hineinzustecke. Logarithmentafeln, so wie ich sie noch aus der Schule kenne hatten eh nur eine Handvoll Nachkommastellen. - Man muss mit der Zeit gehen. Ist das gleiche wie mit Stadtplan oder Navigerät. Brief oder email. Telefonbuch oder online Register. IP-Telefonie oder klassische Leitungsvermittlung. Digitalfotografie oder auf Film.  Manchmal trauere ich auch alten Technologien und Verfahren nach. Aber es hilft nichts.

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