Frage von Ehrenmaedchen, 48

Woraus leitet sich die Formel für das Newtonsche Iterationsverfahren ab?

Hallo :)

Eine Klassenkameradin hielt letzte Woche vor den Ferien eine GFS über das Newtonsche Iterationsverfahren und konnte auf die Frage, wovon sie die Formel x1=x0-f(x0)/f'(x0) ableite nicht beantworten. Jetzt sollen wir dies über die Ferien herausfinden. Leider neige ich gerne zu Kopfzerbrechen und mach mir schon die ganzen Ferien Gedanken darüber, deshalb hoffe ich, dass mir einer von euch helfen kann :)

Danke schon mal im vorraus! LG Melli

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ProfFrink, 19

Immer dann wenn es nicht gelingt eine mit null gleichgesetzte Funktion nach x aufzulösen, dann kann man immer noch mit dem Newtonschen Iterationsverfahren eine Nullstelle finden.

Die Grundidee versteht man sofort, wenn man sich die einfache Dreiecksgeometrie anschaut, die dahinter steckt. Schau Dir mein Bild an.

Das grün-rot-lila Dreieck hat eine bestimmte Steigung. Diese Steigung berechnet sich aus der roten Gegenkathete der Länge f(x0) geteilt durch die lila Ankathete (x0 - x1). Also die Steigung ist

Steigung   f(x0)/(x0 - x1)

Die gleiche Steigung kannst Du aber auch durch Differenzieren ausrechnen, indem Du einfach die Ableitung der Funktion f(x) im Punkt x0 ausrechnest

Steigung = f '(x0)

Da beide Steigungen gleich sein müssen, setzt Du sie auch einfach gleich

f(x0)/(x0 - x1) = f '(x0)

Wenn Du nun diese Gleichung nach x1 auflöst, dann  -- tadaa -- hast Du das Newtonschen Iterationsverfahren erfunden.

Kommentar von Ehrenmaedchen ,

Danke für deine schnelle Antwort, jz hab ichs auch kapiert 😊😅

Antwort
von Schachpapa, 21

Aufgabe: du willst die Nullstelle der Funktion f(x) finden und weißt,
dass sie in der Nähe von x0 liegt (ein Anfangswert, den du z.B. aus
einer groben Zeichnung abgelesen hast).

Die Idee ist nun, dass die Tangente im Punkt P(x0|f(x0)) die x-Achse
näher an der gesuchten Nullstelle schneidet als x0. Die neue Nullstelle
ist x1 (und im weiteren Verlauf x2, x3 usw.)

Die Tangente in P hat die Steigung f '(x0), es gilt also mit y = mx + b

f(x0) = f ' (x0)  x0 + b  <=> b = f(x0) - x0 f '(x0)

d.h. die Tangente hat die Gleichung

y = f '(x0) x + f(x0) - x0 f '(x0)

Bei welchem x schneidet die Tangente die x-Achse?

0 = f '(x0) x + f(x0) - x0 f '(x0)
<=> - f(x0) + x0 f '(x0) = f '(x0) x<=> (-f(x0) + x0 f '(x0)) / f ' (x0) = x
<=> -f(x0) / f '(x0) + x0 = x

Und dieses x, die Nullstelle der Tangente, ist der verbesserte Näherungswert, mit dem du in die nächste Runde gehst.

Antwort
von Polynomo, 24

Die Herleitung dieser Formel läuft ja über eine Tangentengleichung, und berechnet wird dann der Schnittpunkt der Tangente im Punkt (x0/y0) mit der x-Achse.

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