Frage von juilly, 65

Woran erkennt man unmittelbar, dass 234567 in der rationalen Zahlenmenge keine Quadratwurzel hat?

Wirklich, ich hasse Mathe ._.

Antwort
von DinoMath, 31

wenn die Quadratwurzel ein Bruch a/b sein soll, so kann man das Quadrat dieses Bruchs als a²/b² =234567 darstellen.

Die Primfaktorzerlegung von b allerdings hat die selben Primfaktoren wie b² nur dass b² jeden Primfaktor 2 mal so oft drin hat. Damit der Bruch a²/b² aber ne natürliche Zahl sein soll, muss jeder dieser Primfaktoren genauso oft auch in a² vorkommen was bedeutet, dass b ein Teiler von a ist, was bedeutet, dass die Quadratwurzel von 234567 eine natürliche Zahl sein muss, oder sie ist irrational.

Was von beiden nun der Fall ist kann man so leicht nicht sagen. Man muss es schon ein bisschen ausprobieren...

Ich stelle gerade fest, dass keine einstellige Zahl zum Quadrat eine 7 am Ende hat.
Wenn man die Wurzel von 234567 als n_1*10+n_2 darstellen möchte, also n_1 und n_2 zwei natürliche Zahlen von der die zweite auch noch zwischen 0 und 9 liegt (also einstellig ist), so stellt man 2 Dinge fest: erstens ist diese Darstellung eindeutig unter den genannten Umständen) zweitens ist das Quadrat von 10*n_1+n_2, also (10*n_1+n_2)²=100*n_1+20*n_1*n_2+n_2², was beweist, dass die letzte Stelle der Quadratzahl ausschliesslich von der letzten Stelle der Zahl abhängt.

Das heisst, da weder 1, noch 2, noch 3, ...., noch 9 in ihrer Quadratzahl 1, 4, 9, 25, ..., 81 eine 7 am Ende hat, kann die Wurzel einer Zahl, die auf eine 7 endet keine natürliche Zahl sein.

Daher ist deine Antwort: weil es eine ganze Zahl ist, die auf 7 endet, daran kann man das sehen. Und Begründung wie oben.

p.s. ich soltle wirklich nicht deine Hausaufgaben machen, aber es hat mir so Spaß gemacht das Rätsel zu lösen, dass ich es nun auch veröffentlichen möchte.
Bitte versuchs nachzuvollziehen und schreibs nicht einfach ab.
Mathe macht nur Spaß, wenn mans am Ende verstanden hat.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 17

Das ist ein Widerspruchsbeweis.

Alle Zahlen haben eine Endziffer. (Die Anzahl der Ziffern ist endlich.)
Keine Endziffer hat quadriert als letzte Ziffer eine 7.
Das kann man durch Aufzählen beweisen.

Antwort
von mysunrise, 35

wenn gemeint ist, dass man daraus keine Quadratwurzel im Berich der rat. Zahlen ziehen kann: an der sieben als letzte Zahl

Kommentar von Zeitmeister57 ,

So ist die Antwort natürlich korrekt....

Kommentar von DinoMath ,

korrekt, aber unbegründet =D Beweis habe ich geliefert^^

Mich würde interessieren wie du darauf kommst.

Kommentar von juilly ,

Tut mir leid für die Nachfrage, aber wieso? :D ich muss begründen, wieso xD

Kommentar von mysunrise ,

da keine rationale Zahl im Quadrat eine sieben als letzte Ziffer hat...

Kommentar von DinoMath ,

es gibt echt viele rationalen Zahlen. So ohne weitere Begründung würde ich diese Behauptung nicht gelten lassen, auch wenn sie wahr ist.

Kommentar von mysunrise ,

nur die letzte Ziffer betrachtet, enden alle Quadrate auf 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 es reicht die ersten zehn rationalen Zahlen im positiven zu betrachten

-> also enden alle Quadrate auf 1, 4, 5, 6 oder 9 (und nicht auf 7!)

Kommentar von DinoMath ,

damit fehlt der Beweis wieso es ausreicht die letze Ziffer der Wurzel zu betrachten. Ohne das ist der Beweis unvollständig.

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