Frage von CrazyD800, 33

Woran erkenne ich hier einen Körperisomorphismus?

Hallo zusammen,
Ich verstehe nicht ganz, wie ich aus der Tabelle für Addition und Multiplikation (siehe unten) entnehmen kann, dass der Körper IF3 isomorph zu IF9 ist. Für einen Körperisomorph existiert ja eine bijektive Abbildung f: K-->K' mit f(x+y)=f(x)+f(y) und f(xy)=f(x)•f(y) x,y sind Elemente aus K.
Jetzt sehe ich ja zB anhand der Additionstabelle, dass f(2+1)=0 ist, aber was ist dann f(2) bzw f(0)? Wie kann ich einen Isomorphismus hierbei überprüfen?

Antwort
von praevus34, 25

Hey :) ja jetzt wirds mir auch klar. Der Körper F9 ist nicht isomorph zum F3. F3 ist nur ein Unterkörper von F9. Zudem müstest du angeben, was f genau ist. Wenn du zeigen willst, dass {0,1,2} isomorph zum F3 ist, wähle zum beispiel die Abbildung f:{0,1,2} nach F3, indem du die 0 auf die [0] schickst und die 1 auf die [1]. Dann zeigst du zu Fuß die Isomorphie.

Zudem sind F3 und F9 endliche Körper und sind  eindeutig bestimmt. Z.B. ist F9 gleich F3[x] modulo x^2+x+2. Anhand
des Restklassenkörpers erkennt man dessen Struktur sofort, da man
einfach Polynome multiplizieren und Addieren kann. hier ist nun F9 ein vektorraum über F3 und eine Basis des Vektorraums wäre (ich beziehe mich da auf meinen Modulokörper) {1,x}. Denn dann ist F9 = {a+bx mit a,b aus F3}. Also ist die Dimeosion 2. da die Basis aus 2 Elementen besteht. Generell konstruiert man solche Körper durch Modulo von irreduziblen Polynomen.

Antwort
von iokii, 18

F3 ist nicht isomorph zu F9. In dem Text steht, dass F3 isomorph zur Teilmenge {0,1,2} von F9 ist. Wenn man die Elemente aus F3 0',1' und 2' nennt, also F3={0',1',2') , dann ist der Körperisomorpismus f zwischen den beiden einfach definiert als f : {0,1,2}-> {0',1',2' } mit

f(0)=0'

f(1)=1'

f(2)=2'

Jetzt kann man nachrechen, dass die Abbildung tatsächlich ein Körperhomomorphismus ist. 

Kommentar von kreisfoermig ,

Genau. Jetzt sieht er wie wichtig es ist, ein ordentliches Foto von der Aufgabenstellung zu machen!

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