Frage von CrazyD800, 42

Woran erkenne ich einen Körperisomorphismus?

Hallo zusammen,
Ich verstehe nicht ganz, wie ich aus der Tabelle für Addition und Multiplikation (siehe unten) entnehmen kann, dass der Körper IF3 isomorph zu IF9 ist. Für einen Körperisomorph existiert ja eine bijektive Abbildung f: K-->K' mit f(x+y)=f(x)+f(y) und f(xy)=f(x)•f(y) x,y sind Elemente aus K.
Jetzt sehe ich ja zB anhand der Additionstabelle, dass f(2+1)=0 ist, aber was ist dann f(2) bzw f(0)? Wie kann ich einen Isomorphismus hierbei überprüfen?

Antwort
von praevus34, 12

Also F3 und F9 sind grundsätzlich verschiedene Körper. Denn F3 hat 3 Elemente und F9 hat 9 Elemente. Da dies endliche Körper sind, sind sie eindeutig bestimmt. Z.B. ist F9 gleich F3[x] modulo x^2+x+2. Aber mehr kann ich dir nicht helfen, da deine Aufgabe nicht gut sichtbar ist. Generell sind bei Körperkonstruktionen solche Tabellen völlig uninteressant, denn anhand des Restklassenkörpers erkennt man dessen Struktur sofort, da man einfach Polynome multiplizieren und Addieren kann...

Kommentar von CrazyD800 ,

Ich habe die Frage noch einmal gestellt inkl. Aufgabenstellung

Antwort
von kreisfoermig, 16

I. d. R. durch eine geschickte Konstruktion. Was sind denn 𝔽₃ und 𝔽₉ in deinem Übungsblatt genau? Wenn das die (jeweils eindeutigen!) 3 bzw. 3² elementigen Körper sind… dann sind sie nicht isomorph rein aufgrund der verschiedenen Anzahlen der Elemente!

P. S: es wäre sehr hilfreich, wenn du mal das ganze Blatt (mindestens die ganze Aufgabe einschl. Definitionen) abfotografieren würdest…

Kommentar von CrazyD800 ,

Ich habe eine neue Frage inkl. Bild mit Aufgabenstellung gestellt

Antwort
von iokii, 13

Wenn die Tabellen, nach möglicher Umbenennung, die selben sind, sind die beiden Körper wohl isomorph zueinander. Was genau ist denn die Aufgabenstellung und was ist noch gegeben?

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