Frage von Monkeydissam98, 55

wohr weiß man ob eine abgebildete Funktion eine Umkehrfunktion besitzt?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 40

Eine Umkehrfunktion wird gebildet, indem man die ursprüngliche Funktion nach x auflöst und dann x und y vertauscht.

Bei quadratischen wirds dann was schwieriger, weil man die Wurzel ziehen muß, und somit 2 Ergebnisse erhält:
y=x² => x=+-Wurzel(y) => (Tausch) y1=+Wurzel(x); y2=-Wurzel(x)

stelle mir das bei gemischten Funktionen a la f(x)=sin(x)/e^cos(x)*x^tan(x) noch etwas schwieriger vor nach x aufzulösen, aber sollte theoretisch machbar sein, da sind dann aber die Hobbymathematiker unter uns aus dem Rennen, denke ich...

Antwort
von Mathestiv, 55

Wenn irgendein y-Wert zweimal vorkommt, gibts keine Umkehrfunktion. Bsp.: x²

Kommentar von UlrichNagel ,

Meinst du zu jedem x-Wert 2 y-Werte? Dann ist es eine Fehlstelle, hat aber mit x² nichts zu tun. deren Umkehrfunktion ist die Wurzel!

Kommentar von Mathestiv ,

Ich meine, dass ein y-Wert bei zwei x-Werten angenommen wird. Dann ist die Umkehrfunktion nicht auf D definiert.

Kommentar von JonIrenicus ,

Wenn es zu einem x- mehrere y-Werte gibt, ist es keine Fuktion. Was er meint ist, dass die Funktion nicht injektiv ist. Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv, das heißt injektiv und surjektiv ist. (Falls sie nicht surjektiv aber injektiv ist, kann man die Umkehrfunktion natürlich auf dem Bild der Funktion definieren).

Antwort
von Ahzmandius, 28

Wenn einem y bzw. f(x) Wert mehr als ein x-Wert zugeordnet sind, dann lässt sich die Umkehrfunktion nicht bilden.

Bsp: f(x)=5, du kannst hier als "Funktion" einen Horizontalen Strich bei x=5 zeichen. Diese Zuordnung ist aber keine Funktion. Eine Funktion zeichnet sich immer dadurch aus, dass einem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird.

Hier zum nachlesen:

http://matheguru.com/allgemein/23-umkehrfunktionen.html


Kommentar von Roach5 ,

Doch, f(x) = 5 ist eine Funktion, sie ist nur nicht umkehrbar.

Wir schlagen in der Definition der Relationen nach, sehen uns unsere Relation f im RxR an, die jeder Zahl die 5 zuordnet, sehen dass sie linkstotal und rechtseindeutig ist, also haben wir eine Funktion.

Ich glaube du hast gerade eine kleine Denklücke, dass jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird bei der Funktion stimmt, aber es sieht bei dir so aus als müsste auch die Umkehrung gelten, was ja nicht unbedingt sein muss.

Du meinst wahrscheinlich die Umkehrfunktion von f(x) = 5, das wäre keine Funktion, das stimmt.

Kommentar von Ahzmandius ,

Mein Beispiel bezog sich auf das finden einer Umkehrfunktion zu     f(x)=5, deswegen habe ich das Wort "Funktion" in Einführungszeichen gesetzt. Ich hätte das vielleicht präzisieren sollen und stattdessen "Umkehrfunktion" schreiben sollen, allerdings dachte das erklärt sich aus dem Kontext.

Antwort
von claushilbig, 11

Kannst Du aus einem Graphen erkennen, ob er eine Funktion darstellt oder "nur" Abbildung / Relation? Dann ist das eigentlich nicht so schwer:

Wenn Du den Graphen einer Funktion hast, dreh ihn einfach um 90° (bzw. vertausche x und y). Wenn der Graph dann eine Funktion darstellt, gibt's auch eine Umkehrfunktion.

Antwort
von UlrichNagel, 43

Generell gibt es Funktionen und ihre Umkehrfunktionen! Ob sie jedoch gebildet werden können, ist vom stetigen Verlauf der Funktion abhängig.

Kommentar von Monkeydissam98 ,

verstehe ich nicht kannst du ein Bsp. machen ?:)

Kommentar von UlrichNagel ,

Potenzfunktion - Umkehrung => Wurzelfunktion

Winkelfunktion - Umkehrung => Arkus-Funktion

Nur bei periodischen Funktionen gilt wegen der eineindeutigen Zuordnung nur die 1. Periode als Umkehrung, besonders bei Winkelfunktionen(die groß geschrieben wird):

Sin - Umkehrung => Arcsin, für die gesamte Funktion: sin - arcsin

Kommentar von Ahzmandius ,

Das mit Potenzfunktionen stimmt nicht, für z.B. x^2 ist die Wurzelfunktion keine Umkehrfunktion, denn:

x: ...-2,-1,0,1,2,3...

y: ...+2,+1,0,1,2,3

Wenn du jetzt Fu(y)=sqrt(y) ansetzt bekommst du nur die Natürlichen Zahlen mit der Null. Auf die negativen Zahlen wirst du nie kommen.

Kommentar von Ahzmandius ,

Du musst dann zwei Umkehrfunktionen definieren.

Kommentar von Elsenzahn ,

Vor allem: Ob eine Funktion umkehrbar ist (ob eine Umkehrfunktion existiert), das hat mit der Stetigkeit genau gar nichts zu tun. Man kann mit Leichtigkeit stetige Funktionen konstruieren, die nicht umkehrbar sind und unstetige, die umkehrbar sind, und umgekehrt.

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