Das frage ich mich jedes mal, wenn mein Sohn krank zuhause liegt, denn ich habe leider niemanden, der mich unterstützen kann, und muss somit immer zuhause bleiben. Gibt es eine öffentliche Institution, die man in solchen Fällen, wenn es ganz dringend ist, ansprechen kann?

Ich würd' auch meinen, Dein Arbeitgeber kann Dich nicht zwingen, zur Arbeit zu kommen wenn Dein Kind schwer krank ist! Du könntest ja anbieten, dass Du ein wenig Arbeit mit nach Hause nimmst und dort arbeitest (wenn das in Deinem Beruf möglich ist.).
Mutter und Vater können jeweils 10 Tage im Jahr wegen Erkrankung des Kindes (bis 12 Jahre) zu Hause bleiben. Wenn die Mutter alleinerziehend ist, sind es für sie 20 Tage. Das wissen die Ärzte und stellen auf Verlangen entsprechende Krankenscheine aus.

In fast allen Städten und Gemeinden gibt es vom Caritaswerk oder anderen Sozialeinrichtungen Personen, die in solchen Fällen helfen können.
Meistens wird das sogar - nach Antrag - von der Krankenkasse bezahlt.
Wenn Du sagst, Du hättest niemand, der oder die Dich unterstützen kann - hast Du dann schon mal nach Babysittern, Leih-Omas o.ä. Ausschau gehalten?
Ich kenne das bei uns im Büro nur so, dass die betreuende Person (Mutter oder Vater) zu Hause bleiben darf zur Pflege, wenn nicht eine Oma (oder eine andere nicht berufstätige Person im Umfeld) unmittelbar zur Verfügung steht. Ich weiß ja nicht, was Du berufsmäßig machst; aber Dein Arbeitgeber kann Dich nicht zwingen, arbeiten zu kommen, wenn Dein Kind krank ist. Öffentliche Institutionen kenne ich keine; und wäre Dir denn wohl dabei, Dein krankes Kind "wegzugeben"?
Es gibt eine begrenzte Anzahl von Tagen pro Jahr, die Du im Krankheitsfalles Deines Kindes per Krankenschein für das Kind zuhause bleiben kannst. Die Fehltage werden dann durch die Krankenkasse bezahlt. (Ich bin mir nicht sicher ob das 14 Tage sind.)
Außerdem: Wenn das Kind krank ist, ist immer die Mama gefragt!
Ich habe (werde demnächst haben) genau das gleiche Problem wie kappi01. Mein Kind ist aber mehr als 14 Tage im Jahr krank!