Frage von rodi1999, 22

Wo schneidet sich die Kosinus- und die Tangenskurve?

Die frage steht oben, habe die Lösung vor mir, jedoch hab ich keinen Plan, wie ich das Resultat erhalte. Ich weiss, dass Tan(a) = Cos(a) sein muss.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 13

Das geht so:

cos(x) = tan(x)

Wir können den Tangens umschreiben:

cos(x) = sin(x)/cos(x) 

cos²(x) - sin(x) = 0

Jetzt wenden wir noch den trigonometrischen Pythagoras an:

1 - sin²(x) - sin(x) = 0

Noch ein bisschen umstellen:

-1 + sin²(x) + sin(x) = 0

sin²(x) + sin(x) - 1 = 0

Jetzt können wir sin(x) durch u substituieren:

u := sin(x)

u² + u - 1 = 0

abc-/pq-Formel: u = (±√5 - 1)/2

Rücksubstitution:

sin(x) = (±√5 - 1)/2

x = arcsin((±√5 - 1)/2)

x₁ = arcsin((√5 - 1)/2) ≈ 0,6662
x₂ = arcsin((-√5 - 1)/2) = undef.

Also gilt:

x = arcsin((√5 - 1)/2) + 2kπ mit k ∈ ℤ

LG Willibergi

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