Frage von HantelbankXL, 103

Wo liegt der Fehler meiner (aberwitzigen) vollständigen Induktion?

Ich behaupte, dass alle natürlichen Zahlen klein sind.

Induktionsanfang mit n = 0.

Offensichtlich stimmt meine Behauptung.

Induktionsbehauptung:

n + 1 mit n Element N ist klein

Induktionsschritt:

n ist klein laut Induktionsvoraussetzung, 1 ist ebenso klein und daraus folgt, das alle natürlichen Zahlen klein sind.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 32

Eigentlich liefert deine Induktion nur:
Mit "n ist klein" ist n+1 "klein + 1".
Diese Definition existiert aber gar nicht; und du kannst sie auch nicht im Nachhinein erfinden.

Antwort
von Roach5, 33

"Klein" musst du erstmal korrekt definieren.

Du meintest in einem Kommentar, dass kleine Zahlen "einstellig" sind, das bedeutet: Für alle n gilt: n < 10.

Wir wählen n = 10, die Behauptung stimmt nicht.

Wo liegst du falsch? Im Induktionsschritt. Aus n < 10 kannst du nicht n + 1 < 10 schließen.

LG

Kommentar von Rynak ,

Das ist Korrekt, denn der Induktionsschritt muss für ALLE n gelten.

Antwort
von Roderic, 17

Das ist keine vollständige Induktion.

Deine Aussage:

Aus "n ist klein" folgt zwangsläufig "n+1 ist ebenso klein"

ist bis jetzt nur eine Behauptung,...

...deren Beweis du uns noch schuldig bist. ;-)

Antwort
von LC2015, 74

Definier erst mal was klein bedeutet.


Kommentar von HantelbankXL ,

Ok, definieren wir eine Zahl ist klein, wenn sie eine Stelle hat.

Ich weiß natürlich, dass mein "Beweis" Unsinn ist, aber wieso eigentlich?

Kommentar von LC2015 ,

Dann ist der Induktionsschritt falsch. Denn die Summe zweier kleiner Zahlen (klein gemäß deiner Definition) ist nicht notwendigerweise klein. Wähle z.B. 9 und 1, die Summe ist 9+1=10, also nicht klein.

Kommentar von Schachpapa ,

Genau das ist das Problem. Die Summe zweier kleiner Zahlen ist nicht notwendig auch klein. Wäre die Definition von klein "einstellig" hätte man mit n=9 sofort ein Gegenbeispiel, denn 9+1 ist nicht klein.

Antwort
von RadioMegaboom, 71

"Klein" ist nicht mathematisch definiert

Kommentar von HantelbankXL ,

Und was ist, wenn wir klein definieren als einstellig?

Kommentar von kepfIe ,

Dann gibts 10 kleine Zahlen (0-9), ganz weit weg von "alle natrlichen Zahlen".

Antwort
von grossmutti39, 43

was soll den "klein" sein?

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community