Frage von maxim008, 62

Wo liegt der Fehler in meiner Rechnung?

Hallo,

gegeben ist die komplexe Gleichung

(1/(2-i))*x - (3+i)/i = ix

Und so rechne ich dann:

x/(2x - ix) - (3+i)/i = ix

ix/(2x-ix)i - ((3+i)(2x-ix))/i(2x-ix) = ix

ix/(2xi + x) - (6x - 3ix + 2xi + x)/(2xi + x) = ix

ix/(2xi + x) - (7x - ix)/(2ix + x) = ix

(-7x + 2ix)/(2ix+x) = ix | *(2ix + x)

-7x + 2ix = ix(2ix + x)

-7x + 2ix = -2x² + ix² | /x

-7 + 2i = -2x + ix

-7 + 2i = (-2 + i)x | /(-2+i)

3,2 + 0,6i = x

So, nun ist das Ergebnis falsch, denn laut Lösungen muss (7/2 - 1/2i) herauskommen. Würde mir bitte jemand helfen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 30

Hallo,

der Trick bei diesen komplexen Gleichungen besteht darin, die Brüche so zu erweitern, daß das i aus dem Nenner verschwindet. Das funktioniert meist mit Hilfe der dritten binomischen Formel.

Wenn Du 1/(2-1) mit (2+i)/(2+i) erweiterst, bekommst Du (2+i)/[(2-i)*(2+i)]

(2-i)*(2+i) ergibt nach der dritten binomischen Formel 4-i². Da i²=-1, ergibt dies
4-(-1)=5

Ebenso kannst Du (3+i)/i mit i/i erweitern. So bekommst Du [i*(3+i)]/i²

Das ist (3i+i²)/i²=(3i-1)/-1=-(3i-1)=1-3i

Nun lautet die Gleichung:

[(2+i)/5]x-(1-3i)=ix

[(2+i)/5]x-ix=1-3i

x*[(2+i)/5-i)=1-3i

x*[(2/5)-(4/5)i]=1-3i

x*[(2-4i)/5]=1-3i

x=[(1-3i)*5]/(2-4i)=(5-15i)/(2-4i)

Rechts erweitern mit (2+4i)

x=[(5-15i)(2+4i)]/[(2-4i)(2+4i)]=[(5-15i)(2+4i)]/20=(-60i²-10i+10)/20=(70-10i)/20

x=7/2-(1/2)i

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von maxim008 ,

Stimmt, das habe ich ja ganz vergessen, dass man mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern muss! Nur eine kleine Frage, wieso eigentlich? Ich habe einfach mal versucht einen gemeinsamen Nenner zu bestimmen, sowie ich es bei denn reellen Zahlen bei Bruchgleichungen auch getan hätte.

Kommentar von Willy1729 ,

Du hättest in diesem Fall auch so rechnen können, wie Kesselwagen es vorschlägt; auch dieser Weg führt zum Ziel. Die dritte binomische Formel im Hinterkopf zu haben, ist aber immer praktisch. Sie hat den Vorteil, daß das Ergebnis nur aus quadratischen Gliedern besteht. Da i²=-1 ist, kann das i so völlig verschwinden. Bei der ersten und zweiten binomischen Formel bliebe immer ein i im Mittelglied übrig.

Bei der vorliegenden Aufgabe aber ging es letztlich darum, die beiden Terme mit x auf eine Seite zu bringen und x anschließend auszuklammern, um es zu isolieren. Auf der anderen Seite hob sich das eine oder andere i durch das Ausmultiplizieren auf, weil sich i²=-1 ergab. Am Ende muß man nur noch die Glieder mit i und die ohne i zusammenfassen, um eine komplexe Zahl als Lösung zu erhalten.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Du hattest übrigens schon ganz am Anfang einen gravierenden Fehler gemacht: [1/(2-i)]x ist nicht x/(2x-ix), sondern x/(2-i).

Dadurch lief alles weitere schief.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von Kesselwagen, 23

Hallo,

ich würde rechnen:

  • (1/(2-i))*x - (3+i)/i = ix

Terme mit x auf eine Seite bringen, Terme ohne x auf die andere Seite

  • (1/(2-i))*x - ix = (3+i)/i

x ausklammern:

  • x(1/(2-i) - i) = (3+i)/i

Und teilen, so dass nur noch x auf der linken Seite steht:

  • x = (3+i) / ((1/(2-i) - i) * i)

Doppelbruch 1/(2-i) auflösen

  • x = (3+i) / (0.4 + 0.2i - i) * i)

Nenner ausrechnen

  • x = (3+i) / (0.8 + 0.4i)

Bruch auflösen

  • x = 3.5 - 0.5i = 7/2 - i/2

Vielleicht hast Du Dich ja leicht irgendwo verrechnet. Ganz Deinen Rechenweg nachzurechnen ist mir gerade bisschen aufwändig, deshalb so wie ich das meist rechnen würde. Hoffe das bringt trotzdem was.

---

LG. Kesselwagen

Antwort
von eterneladam, 23

Schon beim ersten Schritt ist ein Fehler:

x/(2x - ix) - (3+i)/i = ix

Woher soll das x im Nenner kommen?

Ich würde die Terme mit x zusammenfassen:

[ 1/(2-i) - i ] *x = (3+i)/i

Mal i, [ i/(2-i) + 1 ] *x = 3+i

Macht 2 / (2-i) * x  = 3+i

Also x = (3+i)(2-i)/2 = (7-i) / 2

Kommentar von maxim008 ,

Weil man mit x multiplizieren muss!

Kommentar von MeRoXas ,

Das x kommt dann aber bitte nur in den Zähler, nicht den Nenner...

Kommentar von maxim008 ,

Wieso? Wenn man den gesamten Bruch mit x multipliziert, dann kommt das x überall hin. Das habe ich in der Schule so gelernt.

Kommentar von MeRoXas ,

Dann sieh dir die Regeln für die Bruchrechnung noch einmal an.

Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

x ist gleich x/1.

(x/1)*(1/(2-i)=x/(2-i)

Kommentar von maxim008 ,

Achso, ok danke. Daran lag es wohl, dass ich immer falsch rechnete

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