Wie hoch ist die Pfingstrose nach 60 Tagen (Werte siehe unten)? Kann mir bitte jemand helfen?

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2 Antworten

Ganz einfach:
Du hast ja die Werte von jedem 3. Tag gegeben.
Die allgemeine Funktionsvorschrift ist ja N_0*e^(λ*t) = h(t)
Zuerst müssen wir unsere Wachstumskonstante λ bestimmen.
Dies geht am besten, indem wir für unsere Zeit t (in Tagen) 3 und 6 einsetzen, und dann noch die jeweils die entsprechenden Höhen für h einsetzen.
Dann haben wir als Beispiel die Gleichungen
h(3) = N_0*e^(λ*3)
h(6) = N_0*e^(λ*6)
Jetzt teilen wir einfach h(6) und h(3) miteinander.
h(6)/h(3) = 4,63/3,04 = (N_0*e^(λ*6))/(N_0*e^(λ*3))
Daraus folgt dann 1,52 = e^(λ*3) (Die N_0 kürzen sich raus und die Potenzgesetze geben dir halt am Ende e^(λ*3). (Du würdest aufgrund der Potenzgesetze ebenfalls e^(λ*3) erhalten, wenn du die Gleichung vom 9. und vom 6. Tag miteinander dividieren würdest.))
Jetzt haben wir also 1,52 = e^(λ*3)
Nun ziehen wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten und erhalten
ln(1,52) = λ*3
Also ist λ = ln(1,52)/3 = 0,14 (die Einheit wäre cm/Tag, aber wir rechnen erst mal nur mit den Beträgen.)
Jetzt haben wir unser λ bestimmt und müssen nur noch unser N_0 bestimmen.
Dazu nehmen wir einfach h(0) = 2 (cm, aber wie gesagt, wir rechnen nur mit den Beträgen).
h(0) = 2 = N_0*e^(λ*0)
e^(λ*0) = e^0 = 1, weswegen wir nichts anderes als 2 = N_0*1 = N_0 haben.
Nun haben wissen wir, dass unser N_0 = 2 ist.
Unsere Funktionsvorschrift ist also
h(t) = 2*e^(0,14*t)
Wenn du jetzt wissen möchtest, wie hoch deine Pfingstrose nach 60 Tagen ist, hast du h(60), ganz einfach.
Ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich erklärt. :/
JTR

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Hast du schon ein Diagramm gezeichnet? Oft kann man durch "geschicktes Erraten" herausfinden, wie die Funktion aussieht.

Ich habe mal 3 Diagramme durchprobiert (von einer Tabellenkalkulation erzeugen lassen). 1. Versuch: direkt einzeichnen - steigt stärker als linear. 2. Versuch: Quadratwurzel der Länge - steigt nicht quadratisch, aber ob ständig langsamer, ist nicht eindeutig. 3. Versuch: halblogarithmisch (Zeit linear, Länge logarithmisch) - sieht ziemlich linear aus. (Korrelationstest bestätigt dies.)

Folglich Ansatz:

h(t) = h0 * a^t

bzw.

h(t) = h0 * e^(lambda t)

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