Frage von roromoloko, 128

Wippe -Schwerpunkt berechnen?

Ich habe auf einer Wippe z.B. 3 Personen, zwei auf der linken und einer auf der rechten Seite, mit unterschiedlichen Anordnungen.. WIe berechne ich dann den Schwerpunkt?

Ich habe eine Aufgabe parat, aber möchte zuerst allgemein wissen, wie man einen Schwerpunkt berchnet?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 59

Hallo,

normalerweise ist eine Wippe so aufgestellt, daß sich der Punkt, auf dem sie gelagert ist, genau in der Mitte befindet, also da, wo auch der Schwerpunkt der unbelasteten Wippe liegt. Befinden sich zwei gleich schwere Personen jeweils gleich weit von der Mitte entfernt auf beiden Armen der Wippe, ändert sich nichts: die Wippe bleibt im Gleichgewicht, der Schwerpunkt in der Mitte des Balkens.

Haben die Personen unterschiedliches Gewicht, verschiebt sich der Schwerpunkt in Richtung der schwereren Person - die Wippe sinkt dort herab, wo die schwerere Person sitzt. Wenn die Wippe dennoch im Gleichgewicht bleiben soll, der Schwerpunkt also weiter in der Mitte bleiben, muß die schwerere Person näher zur Mitte rücken. Wie nah, läßt sich ausrechnen, denn bei so einer Wippe gilt: Kraft 1 mal Arm 1 = Kraft 2 mal Arm 2, wenn sich die Wippe weiterhin im Gleichgewicht befinden soll.

Beispiel: Ein Kind wiegt 30 kg, ein zweites 40 kg, die Wippe ist 5 m lang.

Das 30 kg schwere Kind befindet sich außen an der einen Seite, also 2,5 m vom Mittelpunkt entfernt, so daß das Produkt auf seiner Seite 30*2,5=75 beträgt.

Das schwerere Kind darf also nur 75/40=1,875 m vom Mittelpunkt entfernt sein, um sein höheres Gewicht auszugleichen.

Wenn Du nun drei Personen hast, die gleich schwer sind, aber unterschiedlich verteilt sind, kannst Du den Schwerpunkt folgendermaßen berechnen, wobei wir, da die drei Personen gleich viel wiegen, sie einfach mit a bezeichnen, während die Länge der Wippe l ist.

Da auf der einen Seite zwei Personen sitzen und die eine 1 m näher am Mittelpunkt ist als die andere, während auf der anderen Seite nur eine Person sitzt, rückt der Schwerpunkt in Richtung der beiden Personen, und zwar so weit, bis das Produkt aus Gewichten und Lastarmen auf beiden Seiten wieder gleich ist.

Der Lastarm auf der Seite mit den beiden Personen sei x, dann ist der auf der Seite mit einer Person l-x.

Der Lastarm der einen von den zwei Personen ist ebenfalls x, weil sie ganz außen sitzt, der der anderen x-1, weil sie einen Meter näher am Schwerpunkt sitzt.

So gilt nun:

a*x+a*(x-1)=a*(l-x)

a ausklammern:

a*(x+x-1)=a*(l-x)

Durch a kürzen:

x+x-1=l-x

Zusammenfassen:

2x-1=l-x

3x=l+1

x=(l+1)/3

Der Schwerpunkt liegt also (l+1)/3 m von dem Rand der Wippe entfernt, auf dessen Seite die beiden Personen sitzen. 

Ist die Wippe 5 m lang, wären das (5+1)/3=2 m

Nehmen wir an, die drei Personen wiegen jeweils 50 kg, dann lautet die Gleichung:

50*2+50*1=50*3 und das ist zweifellos richtig.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von roromoloko ,

Danke, aber irgendwie verstehe ich kaum was von der Rechnung :( Bist du gleich bei der ersten Formel davon ausgegangen, dass es einen Schwerpunkt gibt und hast geschaut wo der Schwerpunkt liegt?

Vielleicht nenne ich mal meine Aufgabe:

Auf einer Wippe mit dem Drehpunkt P sitzen die Mutter im Punkt A, die Tochter im Punkt B, einen Meter von der Mutter entfernt und der Vater im Punkt C auf der anderen Seite der Wippe, 3 Meter vom Drehpunkt und insgesamt 5 Meter vom Punkt B entfernt.

Mutter - 70kg

Tochter 20 kg

Vater 90kg

Berechnen Sie den Schwerpunkt.

Habe jetzt einfach die Formel die Ello reingeschrieben hat verwendet.. und würde dann auf 4,83 Meter kommen (der Drehpunkt ist in der Formel aber nicht mit eingeschlossen).. Ich weiß leider nicht wie ich deine Formel hier nutzen soll.

Kommentar von Willy1729 ,

Mach Dir eine Zeichnung:

Die Wippe mit Drehpunkt P in der Mitte. Auf einer Seite 3 m von P entfernt Vater (C, 90 kg), auf der anderen Seite (5 m von C oder 2 m von P entfernt Punkt B - Tochter, 20 kg - und 1 m weiter Punkt A, Mutter, 70 kg.) Zwar sind Mutter und Tochter zusammen so schwer wie der Vater, aber dadurch, daß die Tochter weiter innen sitzt, ist der Schwerpunkt in Richtung Vater verschoben.

Wie weit, läßt sich berechnen:

Lastarm der Mutter: x , Lastarm der Tochter: x-1, Lastarm des Vaters: 6-x, denn die Wippe hat eine Länge von 6 Meter).

Dann muß gelten:

70*x+20*(x-1)=90*(6-x)

70x+20x-20=540-90x

180x=560

x=3,11 m

Der Schwerpunkt hat sich also von Punkt P aus um 11 cm in Richtung Vater verschoben.

Willy

Kommentar von roromoloko ,

Dankeschön! Wissen Sie wann man dann die obere Formel mit dem Summenzeichen anwenden darf?

Kommentar von Willy1729 ,

Das fragst Du besser ELLo1997 - die Formel kenne ich nicht.

Kommentar von roromoloko ,

Ok haha danke :)

Kommentar von roromoloko ,

Noch eine Frage :D Wieso ist der Lastarm der Tochter x-1, die des Vaters 6-x??

Kommentar von Willy1729 ,

Weil die Tochter einen Meter vom einen Ende der Wippe entfernt sitzt. Wenn der Lastarm der Mutter auf einer 6 m langen Wippe x ist, dann bleibt für den Vater noch 6-x übrig. x ist dabei die Strecke zwischen der Mutter und dem Schwerpunkt.

Kommentar von roromoloko ,

Ahhhh jetzt habe ich alles verstanden :D

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von ELLo1997, 72

Ich nehme an, du meinst den Schwerpunkt der 3 Personen (genähert als Punktmassen natürlich). Zuerst musst du einen Bezugspunkt festlegen, also einen Nullpunkt sozusagen einer Achse. Dann gilt:

SP = ∑mᵢxᵢ / ∑xᵢ

Das heißt, du bildest die Summe von den Produkten (Masse)*(Abstand dieser Masse zum Nullpunkt) und dividierst das durch die Gesamtmasse. (Vorzeichen der Abstände spielen eine Rolle!)

Lg

Kommentar von ELLo1997 ,

Sorry, die Formel sollte ein ∑mᵢ im Nenner haben!

Kommentar von roromoloko ,

In der Aufgabe hat man drei Punkte A,B,C

A ist von B 1 Meter entfernt

Wenn mein Nullpunkt bei A liegt, ist der Abstand zum Nullpunkt theoretisch null oder wäre es 1m?

Kommentar von ELLo1997 ,

Der Abstand wäre Null.

Kommentar von PWolff ,

Diese Art von Mittelwertbildung ( ∑mᵢxᵢ / ∑mᵢ ) nennt man übrigens "gewichtetes Mittel". An diesem Beispiel wird auch klar, wo die Bezeichnung "gewichtet" herkommt.

Kommentar von roromoloko ,

Der Drehpunkt ist bei der Rechnung aber total egal? :o

Kommentar von ELLo1997 ,

Hier gehts ja auch erstmal darum zu ermitteln, auf welchen Punkt man die 3 Massen reduzieren kann. Was die weitere Rechnung verlangt, spielt dabei doch keine Rolle, es sei denn die Massen bewegen sich.

Kommentar von roromoloko ,

Also mit Willy bin ich auf ein anderes Ergebnis gekommen, habe bei deinem 4,83m raus (ziemlich hoch) :o

Kommentar von ELLo1997 ,

Was ist denn die Aufgabe?

Kommentar von roromoloko ,

Auf einer Wippe mit dem Drehpunkt P sitzen die Mutter im Punkt A, die Tochter im Punkt B, einen Meter von der Mutter entfernt und der Vater im Punkt C auf der anderen Seite der Wippe, 3 Meter vom Drehpunkt und insgesamt 5 Meter vom Punkt B entfernt.

Mutter - 70kg

Tochter 20 kg

Vater 90kg

Berechnen Sie den Schwerpunkt.

Kommentar von ELLo1997 ,

4,.. kann niemals sein, wenn du den Drehpunkt als Bezugspunkt nimmst, da keine Masse soweit draußen ist. Beachte, dass du Abstände links vom Bezugspunkt negativ annehmen musst, rechts davon positiv.

Kommentar von roromoloko ,

Muss ich also den Koordinatenursprung beim Drehpunkt festlegen?

Kommentar von ELLo1997 ,

Das liegt an dir, wäre aber eine plausible Wahl.

Kommentar von roromoloko ,

Wäre es im Punkt A komme ich wie gesagt auf 4 m :D

Kommentar von ELLo1997 ,

Kannst du mal deine Rechnung zeigen? Wenn du von A aus "misst", sollte eigentlich etwas über 3m herauskommen.

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