Frage von ladybug1000, 28

Winkel zweier Geraden im R3 ausrechnen?

Habe 2 Geraden in Form von Vektorengleichungen gegeben:

g...x(2 | 0 | 3) + t(1 | 1 | 2)
h...x(3 | 1 | 5) +u(-2 | -1 | 4)

muss den Winkel dieser beiden Vetoren ausrechen. Wie mache ich das?

Antwort
von iam10, 22

Die Richtungsvektoren in den beiden Gleichungen werden in diese Formel eingesetzt: cosinus alpha=a x b/ |a|x|b|. Im Taschenrechner müsste man zuletzt die cosinus hoch -1 tippen um dann den Winkel zu bestimmen.

Antwort
von gilgamesch4711, 10

Gleich als Erstes würde ich mich mal davon überzeugen, dass sich diese beiden Geraden schneiden ( unter welchem Winkel? ) Oder sind sie Wind schief? Bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos ist ja der User " der Mo " ( Mo = Mohammed ) , der eine absolut genitöse Determinantenformel gefunden hat ( zur Berechnung von Ebenen ) die kein Lehrer kennt ( Ich bin wie immer der Einzige, der dazu lernt. ) Und da fragte ich mich: " Wäre die Billy-Mo-Formel u.U. möglicher Weise geeignet zu entscheiden, ob sie sich schneiden oder Wind schief sind?

   Es ist wie immer; das Einfache findest du erst auf dem Umweg über das Komplizierte. De Frankfotter sescht ja

  " Mer fasst sisch an de Kopp. "

    Geh mal aus von den beiden Geraden in Parameterform

   g1;2  :=  P1;2  +  k1;2  t1;2           (  1  )

  Jetzt betrachte die Determinante

   f  (  t1  ;  t2  )  :=  det  (  t1  ;  t2  ; P2  -  P1  )        (  2  )

   Als Erstes hättest du zu zeigen: f ist eine ( eindeutige ) Funktion nur von t1;2 ( Wir erinnern uns: Eine Funktion ordnet jedem Argument ihres Definitionsbereichs einen eindeutigen Wert ihres Wertebereichs zu. ) d.h. f hängt nicht von der willkürlichen Wahl der Startpunkte P1;2 ab.

   Gehen wir davon aus, dass t1;2 nicht parallel sind ( denn dann würde ja diese Determinante eh verschwinden. ) Außerdem erkennt man Parallelität trivial.

    g1;2 schneiden sich dann und nur dann, wenn Determinante ( 2 ) verschwindet. Echt genial; du kannst das wissen, ohne den Schnittpunkt ausdrücklich zu bestimmen.

   Beweis; angenommen sie schneiden sich ( notwendige Bedingung ) Dann setze

                 P1  =  P2  =  Schnittpunkt         (  3  )

   Und wenn sie Wind schief sind? Jetzt kommt eine Überlegung ins Spiel, die typisch ist für mich. Verschiebe P1;2 längs g1;2 so lange, bis ihr Abstand kleinst möglich ist; eine Extremwertaufgabe. Ihre Lösung ist aber anschaulich. Stell dir vor, g1;2 verlaufen in zwei parallelen Ebenen E1;2 . Und zwar sei P1;2 € E1;2 . Erzeugt werden beide Ebenen von den Vektoren t1;2 . Minimal ist der Abstand zwischen P1 und P2 , wenn Vektor ( P2 - P1 ) dem senkrechten Abstand zwischen E1;2 entspricht.  Wenn dies meine Wahl für P1;2 ist, steht ( P2 - P1 ) senkrecht auf so wohl t1 als t2; Determinante ( 2 ) kann nicht Null werden. Rechnen wir es nach:

               | 1  -2  1  |

    det  =  | 1  -1  1  |  =  0         (  4  )

               | 2   4  2  |

   Sie schneiden sich tatsächlich; und zwar verschwindet ( 4 ) , weil die erste und dritte Spalte überein stimmen.

Kommentar von Willy1729 ,

Du würdest auch einen 40-Tonner anschmeißen, um einen Suppenwürfel zu transportieren, oder?

Kommentar von gilgamesch4711 ,

Bei deinem Hirn habdelt es sich wahrscheinlich um einen ignoranten Suppenwürfel.

  Die Frage, ob sich die beiden Geraden schneiden, ist dir bis Heute noch nie gekommen.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 8

Hallo,

zur Kontrolle: der Winkel zwischen beiden hat 63,549°

Schnittpunkt: (3|1|5)

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Wechselfreund, 14

Du meinst die Winkel zwischen den Richtungsvektoren?!

Antwort
von iokii, 28


a*b/(|a||b|)=cos(alpha).


Kommentar von ladybug1000 ,

theta????!!!

Kommentar von iokii ,

Sorry, wurde nicht richtig angezeigt, * ist das Skalarprodukt, und |a| ist die Länge von a.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz bei Verallgemeinerung.

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