Frage von Hexe756, 36

Winkel bestimmten in einem Dreieck?

Ich verzweifel gerade an einer sehr einfachen Aufgabe. Strahlensatz und Winkelsatz ist mir auch ein Begriff, auch der Stufenwinkel ist mir nicht unbekannt. Aber ich kann folgendes nicht beweisen. Im Anhang sieht man zwei Winkel Alpha in rot. Sagen wir ich hätte nur den unteren Winkel geben und möchte jetzt wissen wie groß der Winkel in dem oberen Dreieck ist, wie komme ich da am schnellsten drauf?

Ich weiß zwar jetzt, dass der Winkel Alpha unten, auch dem Winkel Alpha oben im Dreieck entspricht, aber ich wäre niemals darauf gekommen. Wie hätte ich da am schnellsten drauf kommen können. Also durch Rechnung oder einfach durch die Anschauung?!

Antwort
von poseidon42, 14

Zieh die Senkrechte zu der gestrichelten Linie einfach mal durch bis sie die andere waagerechte Linie schneidet. Ebenso machst du es mit der Hypothenuse des oben eingezeichneten Dreiecks. Du erhälst anschließend 2 ähnliche rechtwinklige Dreiecke an denen du die Winkel recht schnell berechnen bzw ablesen können solltest, dann fällt dir recht schnell auf das die beiden Winkel gleichgroß sind.

Alternativ:

Die Hypothenuse des obigen rechtwinkligen Dreiecks steht senkrecht auf der ich nenne sie jetzt mal "Hauptachse". Die Hypothenuse ist also um 90° Im Uhrzeigersinn zur Hauptachse gedreht (Oder anders, die Hauptachse wurde um 90° im Uhrzeigersinn gedreht). Die an der Hauptachse anliegende Kathete steht senkrecht zur gestrichelten Linie, die gestrichelte Linie wurde also um 90° im Uhrzeigersinn gedreht.

Das "System" aus waagerechter Linie und Hauptachse wurde also insgesamt um 90° im Uhrzeigersinn gedreht, damit haben sich dann auch nicht die Winkel verändert.

Kommentar von Hexe756 ,

Super Erklärung. Ich habe aus dem Gefühl heraus schon die Linien weiter durchgezogen und gesehen, dass sich ein größeres Dreieck ergibt, jedoch nicht den Winkel erkennen können. Drehe ich das kleinere Dreieck aber gegen den Uhrzeigersinn bis die Hypotenuse des kleinen deckungsgleich mit der Tangente ist, dann sieht man, dass der Winkel dann der Steigungswinkel ist und damit also ebenfalls Alpha :) Danke sehr !

Kommentar von poseidon42 ,

Geht auch rechnerisch, angenommen du hättest die beiden Dreiecke eingezeichnet:

So ist in dem linken Dreieck der dem Winkel alpha gegenüberliegende Winkel (der soll mal beta sein) aufgrund der Rechtwinkligkeit des Dreiecks: Beta = 90° - alpha

Wir sehen, dass sich der Winkel Beta und der anliegende Winkel des anderen Dreiecks (der soll mal gamma heißen) zu 90° ergänzen, daher folgt dann also:

beta + gamma = 90°

Einsetzen des Ausdrucks für Beta liefert:

90° - alpha  + gamma = 90°    II - 90°  II + alpha

---> gamma = alpha

Damit sind die beiden Winkel gleichgroß.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

http://flockdraw.com/gallery/view/2264789

hier gucken?

Kommentar von Hexe756 ,

Danke, die Rechnung konnte ich gut nachvollziehen. Mir war wichtig sowas direkt aus der Anschauung zu sehen, z.B. dadurch, dass man es wie poseidon42 beschrieben hat gedanklich dreht. Aber durch die Rechnung ist es dann eindeutig. Danke, ich war echt am rätseln.

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