Frage von oldman7, 28

Wieviele Türme kann ich aus 4 Kästchen bauen wenn ich je 4 Kästchen in 4 unterschiedlichen Farben habe?

Hallo zusammen, ich habe 4 rote, 4 grüne, 4 blaue und 4 gelbe kästchen. Daraus muss ich Türme bauen, die aus je 4 Kästchen bestehen. Wieviele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn es keine 2 identischen Türme geben soll.

Antwort
von kreisfoermig, 14

Jeder Turm besteht aus k₁ rote, k₂ grüne, k₃ blaue und k₄ gelbe Kästchen, wobei k₁+k₂+k₃+k₄=4. Für diese Anzahlen gibt es exakt 4!/(k₁!k₂!k₃!k₄!) eindeutige Formen (allgemeine „über“-Funktion). Daher gibt es insgesamt

      4   4    4     4         4!
N = ∑ ∑ ∑ ∑ ---------------
k₁=0 k₂=0 k₃=0 k₄=0 k₁! k₂! k₃! k₄!
mit k₁+k₂+k₃+k₄=4

4 4 4 4 4!
= ∑ ∑ ∑ ∑ --------------- · 1ᵏ¹1ᵏ²1ᵏ³1ᵏ⁴
k₁=0 k₂=0 k₃=0 k₄=0 k₁! k₂! k₃! k₄!
mit k₁+k₂+k₃+k₄=4

4 4 4 4 4!
= ∑ ∑ ∑ ∑ -------------·x₁ᵏ¹x₂ᵏ²x₃ᵏ³x₄ᵏ⁴
k₁=0 k₂=0 k₃=0 k₄=0 k₁!k₂!k₃!k₄!
mit k₁+k₂+k₃+k₄=4

wobei x₁,x₂,x₃,x₄=1

= (x₁+x₂+x₃+x₄)⁴, wobei x₁,x₂,x₃,x₄=1
= 4⁴ = 256.

Alternativer Rechenweg: für das erste Kästchen gibt es 4 Möglichkeiten, für das zweite noch 4 (auch trotz Verringerung, weil man immer noch alle Farben haben wird), für das dritte noch 4 (aus demselben Grund) und für das vierte noch 4 (aus demselben Grund). Das ergibt 4x4x4x4 = 4⁴ = 256 Möglichkeiten.

Kommentar von oldman7 ,

Erst einmal danke für die Mühe. Meine Tochter kam heute aus der Schule und die Antwort ist 24. Warum konnte Sie mir aber nicht sagen.? Vielleicht habe ich aber die Frage falsch gestellt. Vg

Kommentar von kreisfoermig ,

24 ist die Lösung auf ein völlig anderes Problem: man hat exakt 4 Objekt jeweils unterschiedlicher Farbe, NICHT 4 Blau, 4 Rot, 4 Grün, 4 Gelb, sondern 1 Blau, 1 Rot, 1 Grün, 1 Gelb. Dann lautet die Antwort N = 4! = 4x3x2x1 = 24.

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