Frage von juliathebest, 24

Wieviele Nullstellen kann man mit der Intervallschachtelung bestimmen?

wie in der Frage schon gesagt, ich würde gerne wissen wieviele Nullstellen man mit der intervallschachtelung, bzw. dem Intervallhalbierungsverfahren (ich weiß nicht ob es da einen Unterschied gibt) rausbekommt. Ich weiß nur wie man eine Nullstelle errechnet, aber bei Funktionen 3. grades (z.B) sind ja bis zu 3 Nullstellen möglich. Wie bekomme ich die raus? Also mit dem Intervallhalbierungsverfahren..

Ich bin sehr dankbar für alle Antworten :)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 19

Mit diesem Verfahren schnürst Du das entsprechende Intervall immer näher um EINE Nullstelle. Hast Du diese ermittelt, kannst Du mit Hilfe der Polynomdivision (Funktionsterm durch (x minus gefunde Nullstelle)) aus dem dann entstehenden quadratischen Term die restlichen beiden Nullstellen ermitteln (z. B. mit der pq-Formel).

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 6

https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion

Generell hat ein Polynom n. Grades auch n Nullstellen. Die Frage ist nur, ob sie reell oder komplex oder doppelt sind.

Bis zum Polynom Grad 4 gibt es bereits exakte explizite Lösungsformeln

( http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php )

Aber Deine Frage richtet sich ja an Bisektion.

Ungerade Potenzen (a*x oder a*x³ oder a*x^5, ...) haben immer mindestens 1 reelle Nullstelle.

Man muss zunächst das Such-Intervall groß genug gestalten, um garantiert ein Vorzeichenwechsel zu bekommen.

Wenn man eine Nullstelle mit genügend hoher Genauigkeit gefunden hat (manche haben unendlich viele Nachkommastellen), kann man weiter "innen" suchen. 

Man unterscheidet 2 Arten der Bisektion:

a) einfache, die immer ein Vorzeichenwechsel erfordert

b) komplexere, die auch mit "dichter dran" suchen kann 

Bei Polynomen reicht eine Nullstelle, um per Polynomdivision ein weiteres Polynom mit 1 Grad weniger zu bekommen.

Bei komplizierteren Formeln hilft eine grafische Skizze oder andere Algorithmen wie z.B.

https://www.gutefrage.net/frage/iterationsverfahren-hilfe?foundIn=tag\_overview

Hier ein Würdiges Beispiel für eine Suche von 4 Nullstellen

https://www.gutefrage.net/frage/newton-verfahren-mathematik


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