Frage von gruttli,

wieviel lösungen kann lineares gleichungssystem haben?

eine, zwei und unendlich, oder?

lg!!

Antwort von chronic90,
8 Mitglieder fanden diese Antwort hilfreich

keine, eine oder unendlich viele

lg

Antwort von psychironiker,
2 Mitglieder fanden diese Antwort hilfreich

Wenn es um eine System mit zwei Gleichungen und zwei Variablen geht:

Keine,

genau zwei ( = für jede Variable genau ein Wert, die können aber auch gleich sein) oder

unendlich viele.


Wenn es um eine System mit n Gleichungen und n Variablen geht (n beliebig):

Keine,

genau n ( = für jede Variable genau ein Wert, die können aber auch paarweise gleich sein) oder

unendlich viele

Kommentar von appletman,

Hallo, könntest du nicht mal bitte erläutern, wann es keine Lösungen bzw. unendlich viele Lösungen gibt? Das hat man nicht allzu oft in der Praxis...

Kommentar von psychironiker,

Du selbst schreibst doch: Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn die Gleichungen linear abhängig sind.

Entsprechend gibt es keine Lösung, wenn die Gleichungen bis auf (mindestens) einen Zahl der r.S. linear abhängig sind. Einfache Beispiele:


x +2y = 4; (1)

3x +6y = 12 (2)

unendlich viele Lösungen; denn (2) = 3 * (1) (lineare Abängigkeit; alle (x = 4-2y, y bel.) sind Lösung


x +2y = 4; (1)

3x +6y = 11 (2)

keine Lösung, denn Gleichsetzen von 3*(1) und (2) führt zu 12 = 11 (falsch).

Kommentar von ArchEnema,

genau zwei ( = für jede Variable genau ein Wert, die können aber auch gleich sein)

Äh... das ist aber eine Lösung. Da die Variablen "zueinander passen" müssen kann man ja wohl schlecht jede als eigene Lösung vermarkten... ;-)

Kommentar von sprengel,

Um kein falsches Vokabular zu verbreiten, solltest Du deine Antwort korrigieren: Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems ist stets ein n-Tupel, also für n=2 ein Wertepaar und es gibt immer nur die Fälle kein, genau ein oder unendlich viele Wertepaare.

Kommentar von psychironiker,

A. Ich ziehe in der Tat die Sprechweise "Lösungstupel" vor (siehe zweite Antwort) ... nur weiß mal halt nie, was in irgendeiner Klasse eingeführt ist. Die "Ortsvektoren" der Oberstufe sind auch keine Vektoren.

Im Übrigen stimmt deine Formulierung so auch nicht, sondern beschreibt nur den Fall der eindeutigen Lösung. Wenn es unendlich viele Lösungen gibt, gibt es logischerweise auch unendlich viele Tupel, und also keineswegs stets eines... nicht wahr, Herr Oberlehrer?

B. Wenn du jemandem erzählst, dass in seinem papulösen Tumor Staphylokokken eine autolytisch-purulente Kolliquationsnekrose der Makrophagen induzieren, denkt die betroffene Person höchstwahrscheinlich, sie stirbt demnächst.

Die Sprechweise beschreibt höchst korrekt die formale Pathogenese in - einem entzündeten Mitesser (Pickel). Wie hilfreich.

Antwort von ArchEnema,
2 Mitglieder fanden diese Antwort hilfreich

Wie kommst du auf zwei?

Keine, eine, unendlich viele.

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem

Antwort von Kungfukuh,
1 Mitglied fand diese Antwort hilfreich

Einige Antwortende beschränken sich auf die gleiche Anzahl an Variablen und an Gleichungen. Die beiden können allerdings unterschiedlich lang sein.

Nehmen wir an, das Gleichungssystem (kurz GLS) habe m Gleichungen und n Variablen. Die Anzahl der Lösungen lässt sich sicher herausfinden, wenn man das GLS in eine Treppenstufenform überführt. Dann lässt sich nämlich direkt erkennen, ob es keine, eine oder unendlich viele Lösungen gibt.

Sei k die unterste Gleichung in der Treppenstufenform Ax=b, die mindestens ein nicht verschwindendes Element (dh ungleich 0) hat. Es ergeben sich folgende Fälle für diese Zeile:

  1. Alle Koeffizienten in A (in dieser Zeile) seien gleich 0 aber das Koeffizient in b sei ungleich 0. Dann existiert keine Lösung.

  2. Es gibt mindestens zwei nicht verschwindende Elemente in A (in dieser Zeile). Dann ergeben sich unendlich viele Lösungen.

  3. Dieser Fall ist etwas komplizierter als die ersten zwei. Es gebe genau ein nicht verschwindendes Element in A (in dieser Zeile). Daraus ergeben sich zwei Fälle: genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die Antwort hängt von der Struktur der "Treppenform" ab. Wenn die Treppe gleichmäßig verläuft, dann hat das GLS eine eindeutige Lösung. In anderen Fällen muss man aufpassen, ob da nicht in irgend einer Zeile mindestens zwei neue nicht verschwindende Variablen stehen. In diesem Fall würden unendlich viele Lösungen existieren.

Antwort von psychironiker,
1 Mitglied fand diese Antwort hilfreich

(1) Erst einmal ist wohl begriffliche Klarheit erforderlich, was unter "einer Lösung" zu verstehen sein soll. Eine mathematisch klare Sprechweise wäre wohl, dass es kein, genau ein oder unendlich viele Lösungstupel gibt (und sonst keine weitere Möglichkeit).

Nur weiß ich nicht, ob das gruttli die Sprecheweise "eine Lösung" ohne Erläuerung so klar ist. Wenn sie/er denkt, dass es "eine, zwei oder unendlich" viele Lösungen geben könnte, denkt sie/er wohl eher an die Anzahl möglicher einzelner Werte für die verschiedenen Variablen. Daher meine Sprechweise "n Lösungen, und zwar für jede Variable genau eine" ; das meint "ein Tupel", ohne diesen Begriff zu verwenden.

Kommentar von sprengel,

In der Mathematik kann nicht jeder neue Begriffe einführen, insbesondere nicht dann, wenn die vorhandenen völlig ausreichen!

Antwort von appletman,
1 Mitglied fand diese Antwort hilfreich

Du brauchst bei n Unbekannten auch n Gleichungen! Dann ist das System lösbar, zumindest, wenn die Gleichungen linear unabhängig voneinander sind. Hat man zu wenig Gleichungen, so bleiben Abhängigkeiten übrig. Bei zu vielen Gleichungen ist das System überbestimmt. Hier kann es zu Widersprüchen kommen...

Kommentar von gruttli,

mensch, ich wünschte ich könnte mathe!!

Antwort von captainfridolin,

Keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen...

Antwort von Junnna27,

Je nachdem. Es gibt welche ohne Lösungen, eine mit unendlich vielen und und und

Antwort von DerTroll,

alles, was du aufgeführt hast, ist möglich, aber auch keine oder drei oder vier usw.

Antwort von athinuria,

kommt auf das gleichungssystem an

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