Frage von MissZeroxxx, 20

Wieso werden bei dem Binomialkoeffizienten die Zahlen im Nenner weggekürtzt?

Rein mathematisch gesehen ist es klar, aber auf eine Anwedungsaufgabe bezogen macht es für mich keinen Sinn.

Antwort
von Rubezahl2000, 13

Nehmen wir mal ein anschauliches Bsp aus einer Frage von heute:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, wie sich 5 Autos auf 15 Parkplätze verteilen können?

1,) Anschauliche Lösung:
1. Auto: 15 Plätze zur Auswahl
2. Auto: 14 Plätze zur Auswahl
3. Auto: 13 Plätze zur Auswahl
4. Auto: 12 Plätze zur Auswahl
5. Auto: 11 Plätze zur Auswahl
=> Lösung: 15•14•13•12•11

2.) Lösung mit Binomialkoeffizient:
(15 über 5) ergibt die Anzahl der Möglichkeiten, welche 5 Parkplätze jeweils besetzt werden.
Das muss dann noch mit 5! multipliziert werden, da bei jeder der (15 über 5) Parkplatz-Kombinationen noch jeweils die 5 Autos variieren können.
=> Lösung: 5! • (15 über 5)
= 5! • 15!/(5! • 10!)
Und jetzt kann man diesen Bruch ganz normal kürzen:
5! fällt weg und es bleibt:
15!/10!
Da kann man jetzt wieder kürzen, dann fällt 10! weg und es bleibt:
die Lösung: 15•14•13•12•11
genau wie oben :-)

Kommentar von MissZeroxxx ,

Schonmal Danke für die Antwort! Aber warum kann man kürzen? Ich meine da gehen doch die Anzahl der Möglichkeiten (im Nenner) verloren..

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 14

hast du ein Beispiel für das, was du meinst?

Kommentar von MissZeroxxx ,

Nehmen wir das Bsp. aus der ersten Antwort. Warum werden Zahlen im Nenner von 10 bis 1 weggekürzt? Es verschwinden doch nicht einfach so die Möglichkeiten, dass z.B die 5 Autos in den ersten 5 Parkplätzen parken. In der gekürzten Formel erscheint es jedenfalls so.

Danke schonmal für die Antwort!

Kommentar von Ellejolka ,

da verschwindet nichts; der Wert 5! • (15 über 5)

bzw (5! • 15!) / (5! • 10!) bzw 15•14•13•12•11 ist immer der gleiche, nämlich

360.360

kannst ja mal nachrechnen.

Das Kürzen ist nur eine Vereinfachung, verändert aber nicht die Anzahl der Möglichkeiten.

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