Frage von Nargilem, 68

Wieso und wie kann ich folgende Umformung durchführen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von poseidon42, 19

Also die formst wie folgt um:

(x+1)/(x-1)² = (x - 1 + 2)/(x-1)² = (x-1)/(x-1)²  + 2/(x-1)² 

Durch kürzen erhalten wir schließlich:

= 1/(x-1) + 2/(x-1)²

Diese Umformung führt man durch, da man nun den Bruch aus 2 Funktionen da nicht mehr stehen hat und stattdessen nun zwei einfachere Funktionen als Summe dort stehen hat. Nun kannst du die beiden simpleren Funktionen getrennt Integrieren und musst sie anschließend nur noch addieren.

mit   Int[ 1/(x-1) dx] = ln(x - 1) + C

und  Int[ 1/(x-1)² dx] = - 1/(x -1) + C

Und diese Auszurechnen geht wesentlich schneller, als die Geschichte mit dem Bruch in der Form g(x)/f(x)

Antwort
von lks72, 34

Erweitere den ersten Bruch mit x-1, dann steht dort x-1 im Zähler, insgesamt dann x-1+2 = x+1 wie verlangt.

Kommentar von Nargilem ,

Hm, das verstehe ich noch nicht so ganz.
x-1+2 steht doch rein theoretisch schon im Zähler, auch wenn ich den Bruch nicht erweitere.

Antwort
von Kesselwagen, 11

Hallo,

diese Umformung nennt sich Partialbruchzerlegung (https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung). Wenn Du danach googlest, wirst Du paar Beispiele sehen - vor allem wie das funktioniert. Ziel ist, eine schwer zu integrierende Funktion in einfach integrierbare Funktionen aufzusplitten.

Ich rechne für Dich mal ne Partialbruchzerlegung zu der Funktion per Hand:

Ansatz: 

  • (x + 1) / (x - 1)^2 = A / (x - 1) + B / (x - 1)^2

(Bei Mehrfachnullstellen werden die Potenzen x^1 ... x^n der n-fachen Nullstelle für den Ansatz genommen)

Koeffizientenvergleich (Beide Seiten der Gleichung * (x - 1) ^2 nehmen). Das machen wir, um A und B rauszubekommen

  • x + 1 = A * (x - 1) + B
  • x + 1 = Ax - A + B
  • x + 1 = (x)A + (-A + B)

Das liefert ein einfaches Gleichungssystem.

  • I: A = 1
  • II: -A + B = 1  ->  B = 2

Nun können wir das Integral umschreiben:

  • ∫ (x + 1) / (x - 1)^2 dx = ∫ 1 / (x - 1) dx + 2 ∫ 1 / (x - 1)^2 dx

... und lösen...

= ln |x - 1| + 2 / (1 - x)

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LG. Kesselwagen

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