Frage von sophiestyles, 63

Wieso sind in der Definitionsmenge von x^2+1 (in der wurzel) alle rationalen Zahlen einsetzbar?

Antwort
von PeterKremsner, 18

Das kommt drauf an wie du die Zielmenge ansetzt:

Im Fall dass du sagst du bleibst bei den Rationalen Zahlen, dann sind die Darstellbar als:

n/k wenn du die jetzt in deine Funktion einsetzt:

sqrt(n²/k²+1) = sqrt(n²+k²/k²) = sqrt(n²+k²)/k

Die multiplikation von ganzen Zahlen liefert immer eine ganze Zahl genau so wie die Addition, also kannst du schreiben:

sqrt(r)/k wobei r wieder eine ganze Zahl ist.

Und jetzt kommt es auf deinen Wertebereich an den du haben willst.

Wenn du sagst der Wertebereich soll eine Teilmenge der rationalen Zahlen sein, dann muss sqrt(r) ebenfalls rational sein. Was zB für r = 2 nicht der Fall ist, das bedeutet in dem Fall kann dein Definitionsbereich nicht alle rationalen Zahlen sein. Ein Problem wäre es wenn r negativ ist, aber weil r = n²+k² ist und eine ganze Zahl zum Quadrat immer eine positive ganze Zahl ist, kann dieser Fall nicht auftreten.

Wenn du hingegen forderst, dass dein Wertebreich eine Teilmenge der reellen Zahlen sein soll, dann hast du kein Problem denn Wurzel 2 ist eine reelle Zahl.

Die Wurzel liefert für jede positive reelle Zahl ebenfalls eine positive reelle Zahl.

Wenn wir uns jetzt den Term von vorhin ansehen: sqrt(n²+k²) mit n und k ganze Zahlen. Dann kann das Argument der Wurzel nie negativ sein und somit wird dir die Funktion immer eine reelle Zahl liefern.

Weil das gilt muss auch sqrt(n²+k²)/k reell sein.

Wenn du als Wertebereich die komplexen Zahlen nimmst dann wirst du generell kein Problem mehr bekommen.

Denn die Wurzelfunktion liefert für alle reellen und komplexen Zahlen eine komplexe Zahl.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 24

Die Definitionsmenge für Wurzelfunktionen ist für die x-Werte begrenzt, für die der Wert unter der Wurzel kleiner Null wird. Das ist bei x²+1 nicht der Fall. x² ist immer positiv und x²+1 daher logischerweise auch.

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 25

Weil der Teil unter Wurzel niemals negativ wird. Eine negative Zahl, welche quadriert wird, ergibt wieder eine positive Zahl.

Antwort
von Rubezahl2000, 7

Weil es KEINE rationale Zahl x gibt, für die √(x²+1) NICHT definiert wäre.
Es sind sogar alle reellen Zahlen einsetzbar ;-)

Und warum gibt's kein rationales x, für das √(x²+1) NICHT definiert ist?
Weil für alle x gilt, dass x² ≥ 0 ist.
Dann ist natürlich erst recht x²+1 ≥ 0
Und für positive Zahlen ist die Wurzelfunktion immer definiert :-)

Antwort
von InQuestion, 26

Überleg mal: Was ist das Problem bei der Wurzel? - Wenn negative Werte eingesetz werden, ist kein Ergebnis definiert - Also ein Problem.

Durch X^2 Kann es nur positive Werte in der Wurzel (Ausser NULL) geben, denn -2^2=-2*(-2)=4. Da bleibt nur ein Problem: Die NULL denn 0^2=0.

Deshalb das: +1 im Term. Dadurch kann 0^2 nicht als Term unter der Wurzel entstehen. Das ist die Erklärung.

Kommentar von PeterKremsner ,

0 ist bei der Wurzel auch kein Problem, die Wurzel von 0 ist definiert als 0

Antwort
von underlord27, 22

weil das x in keinem bruch steht

du hast nur definitionslücken wenn du zahlen für x nicht einsetzen darfst

gibt es für diese gleichung allerdings nicht

Antwort
von JTR666, 7

Du musst halt schauen, an welchen stellen dein Radikant, also das was in der Wurzel steht, null ergibt, denn das ist der erste und kleinste Wert, aus dem du eine Wurzel ziehen kannst.

Also musst du einfach immer den Radikanten mit 0 gleichsetzen, und dann schauen, welche welche du für x herausbekommst.
Dann musst du noch schauen, ob es in einem bestimmten Bereich zu einer negativen Lösung kommt, und dann hast du deine Definitionsmenge.

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR

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