Frage von MiaSanKoanPokal, 39

Wieso sind alle Nachkommastellen von 1 bis n 7tel in "0.142857" enthalten?

1 / 7 = 0.142857... (bei der 1 angefangen) -- 2 / 7 = 0.285714...(bei der 2 angefangen, dann die Zahlenfolge 571428571428...571428) -- 3 / 7 = 0.428571... (bei der 4 angefangen, dann die Zahlenfolge) -- 4 / 7 = 0.571428... (bei der 5 angefangen, dann die Zahlenfolge) -- 5 / 7 = 0.714285... (bei der 7 angefangen, dann die Zahlenfolge) -- 6 / 7 = 0.857142...(bei der angefangen, dann die Zahlenfolge).

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 23

1,4,2,8,57 sind schon 6 Ziffern. Zusammen mit der 0 sind es 7.

Es ist nicht schwer nachzuweisen, dass die Summe der Längen aller verschiedenen Zifferperioden einer Primzahl p gerade p ist, wenn man die Periode 0 mit dazunimmt. (Falls p zur verwendeten Basis teilerfremd ist.)

Aber warum gerade 7 im Dezimalsystem maximale Periodenlänge hat und z. B. 11 und 13 nicht, ist in einem Buch über ungelöste mathematische Probleme aufgeführt worden. (Allerdings ist das Buch inzwischen 4 oder 5 Jahrzehnte alt.)

Antwort
von Schachpapa, 12

142857 ist eine zyklische Zahl.

Zyklische Zahlen sind Perioden von periodischen Zahlen, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt. Die ersten 5 sind: 7, 17, 19, 23, 29

Die Generatorzahlen haben die Eigenschaft, dass es für sie kein natürliches n < p-1 gibt, sodass 10^n mod p = 1 gilt. 

Mehr unter dem Wikipedia-Artikel Zyklische Zahl,
bei http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/periodenlaenge.htm
und bei http://mathworld.wolfram.com/FullReptendPrime.html

Kommentar von Schachpapa ,

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