
Die Herkunft des Begriffes Strich ist nicht ganz geklärt: Eine Erklärung kommt aus der Prostitutionsverordnung Wiens zur Zeit der Jahrhundertwende, nach der die Straßendirnen sich nur innerhalb eines bestimmten Bereiches (hinter dem Strich) am Bordsteinrand aufhalten durften (daher wahrscheinlich auch der Begriff Bordsteinschwalben für Prostituierte vom Straßenstrich), um die herkömmlichen Passanten nicht zu behindern. Eine andere Erklärung kommt aus der Jägersprache: Als Strich wird sowohl eine gedachte Linie auf einer bestimmten Höhe bezeichnet, auf der die balzenden Waldschnepfen ihre Bahnen fliegen, um die Aufmerksamkeit der Weibchen auf sich zu ziehen, oder auch die Blutspur, die verwundetes Wild während einer Treibjagd hinter sich herzieht (wohl eine pejorative Anlehnung an die weibliche Menstruation). In Hamburg gab es einen weißen Strich an den Anlegern der Schiffe. Weiter durften sich die Prostituierten den Schiffen nicht nähern. So standen die Damen "auf dem Strich" und warteten auf ihre ankommende Kundschaft.

Vielleicht weil die Damen des Straßengewerbes immer auf und ab gehen wie auf einem Strich.

Vielleicht ist damit die Bordsteinkante gemeint.
Aaah ja, daher wohl auch Bordsteinschwalbe.

Die Frage wurde schon gestellt. Schau mal hier: http://www.gutefrage.net/frage/auf-den-strich-gehen-woher-kommt-dieser-ausdruck