Frage von IchHalt122, 20

Wieso muss bei einem Hochpunkt einer e-Funktion die zweite Ableitung kleiner als 0 sein?

Antwort
von triopasi, 19

Weil das nun mal die Bedingung für nen Hochpunkt ist, egal welche Art von Finktion.

Kommentar von IchHalt122 ,

Oh stimmt, war nur etwas verwirrt, weil die Zahl nicht positiv werden kann, aber dann wärs ja ein Tiefpunkt.

Kommentar von PWolff ,

Die Bedingung f''(x) < 0 ist nur hinreichend für einen Hochpunkt von f in (x | f(x)).

Notwendig ist - mit der zusätzlichen Einschränkung, dass f an der Stelle x "analytisch" ist -, dass alle Ableitungen bis zur Ordnung 2k-1 an der Stelle x verschwinden und die 2k-te Ableitung an der Stelle x kleiner als 0 ist.

(Bekanntestes Gegenbeispiel bei nicht-analytischen aber genügend oft differenzierbaren Funktionen zu einem Tiefpunkt in (0|0) ist die abschnittsweise definierte Funktion

f(x) = e^(-1/x²)    ; falls x ≠ 0

f(x) = 0               ; falls x = 0

: hier ist f überall, insbesondere an der Stelle 0, unendlich oft differenzierbar, wobei jede Ableitung an der Stelle 0 wieder 0 ist, und f(x) ist echt größer als 0 für alle x ≠ 0.)

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Immerhin ist die Bedingung f''(x) ≤ 0 notwendig, sodass der Beweis, dass eine Exponentialfunktion keinen Tiefpunkt hat, noch funktioniert.

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