Frage von Glasgesicht, 26

Wieso löst sich bei einer Funktion in Polardarstellung das e^-2Pi*i einfach auf?

Antwort
von SlowPhil, 1

Weil Sinus, Cosinus und damit nach der Eulerschen Formel

(1) e^{iα} = exp(iα) = cos(α) + i·sin(α)

auch exp(iα) 2π-periodisch sind. Das weiß man, d.h. wenn der TR etwas anderes ausspuckt, rechnet er mit einer ungenauen Näherung von 2π oder auch –2π und eben nicht mit 2π bzw. –2π selbst.

Dank (1) kann man sogar von negativen Zahlen einen Logarithmus ziehen, was freilich mit Vorsicht zu genießen ist, weil es wegen der Periodizität unendlich viele Lösungen gibt. Sein sog. Hauptwert ist für ein positives x

(2) ln(–x) = ln(x) + iπ.

Je größer übrigens α, desto größer dürfte beim TR der Rundungsfehler werden.

Antwort
von Physikus137, 26

Wegen der Identität e^(i x) = cos(x) + i sin(x)

In deinem Fall:

e^(-2*pi*i) = cos(-2*pi) + i sin(-2*pi) = 1 + 0 * i = 1

Kommentar von Glasgesicht ,

Wenn ich cos (-2*pi) in den taschenrechner eingebe kommt da aber 0.9... raus und nicht 1.

Kommentar von Physikus137 ,

Das ist die Krux mit den Taschenrechnern, die verstehen nichts von Mathematik, sondern müssen sich Näherungsverfahren bedienen...

0,99999... (periodisch) = 1. Auch eine Identität, die Taschenrechner nicht kennen.

Kommentar von Glasgesicht ,

Ok, danke. Noch eine Frage: kann ich dann quasi alle vielfache von 2 PI auch einfach auflösen?

Kommentar von Physikus137 ,

Ja, genau. e^(i*x) ist ebenso periodisch wie Cosinus und Sinus.

Kommentar von Glasgesicht ,

Wenn ich jetzt wiederrum cos (-4*pi) eingebe kommt aber 0,97 raus... bei (-6*pi), 9.4.... etc. Irgendwann weicht dass aber doch sehr von den cos= 1 ab?

Kommentar von Glasgesicht ,

Ich glaube ich hab es mir beantwortet: Wenn ich eine Funktion e^50*Pi*i hab...kann ich die doch quasi so auflösen dass (e^2Pi*i)^25 rauskommen würde. Dann ist e immer 1 und 1 hoch einer beliebigen Zahl ist ja immer 1.

Kommentar von Physikus137 ,

Entweder du hast keinen besonders guten Taschenrechner, oder du gibst für Pi 3,14 ein anstatt die vom Taschenrechner dargebotene Konstante?!

Kommentar von Glasgesicht ,

Ich nutz schon die Konstante. Mein Taschenrechner ist von Casio? Der ist eigentlich schon recht gut.

Kommentar von Physikus137 ,

Du weist ja, dass man den Winkel in Grad oder in Rad angeben kann. Im ersten Fall entspricht ein rechter Winkel 90°, im zweiten π/2. Dem Taschenrechner mußt du sagen, wie du deine Winkel angeben willst. In der Anzeige steht meist ein kleines "D" oder "deg" für Winkelangaben in Grad (von engl. degree) oder "R" bzw. "rad". Mit einer Taste oder Tastenkombination kannst du zwischen beiden (und evtl. noch einer dritten) Möglichkeiten Winkel anzugeben wechseln. Wenn diese Einstellung nicht mit deiner Winkelangaben übereinstimmt kommen dabei falsche Werte heraus, so wie bei dir geschehen. 

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