Frage von KyloRenHD, 83

Wieso kann man bei den Komplexen Zahlen "i" nicht als Exponenten verwenden?

Wieso kann man bei den Komplexen Zahlen "i" nicht als Exponenten verwenden? Beispiel: 2 (hoch i) . Mein Rechner zeigt Error an. i ist eine imaginäre Einheit... sollte es nicht trotzdem gehen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von NoHumanBeing, 60

Das kann nur Dein Taschenrechner nicht.

Definiert ist es sehr wohl.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5ei

Ist eben eine komplexe Zahl.

Die komplexe Exponentialfunktion (mit der Euler'schen Zahl als Basis und komplexem Exponenten) ist eine Lösung vieler Differentialgleichungen und somit physikalischer Probleme, z. B. beim harmonischen Oszillator.

Sie steht auch in engem Zusammenhang zu den Kreisfunktionen.

Antwort
von Orsovai, 63

Meiner Meinung nach ist das einfach nicht definiert. Schon mit reellen Zahlen zu potenzieren ist etwas schwieriger, das funktioniert über Folgen von Potenzen mit rationalen Zahlen, die gegen die entsprechende reelle Zahl konvergieren.

Versuche mal 2^sqrt(2) mit Deinem Taschenrechner zu rechnen, denke, das klappt ebenfalls nicht.

Kommentar von SlowPhil ,

Sorry, aber das ist Unsinn. Die imaginäre Einheit i tritt spätestens im 18. Jhd. als Exponent auf, und zwar in der Formel e^{ix} = cos(x) + i*sin(x) Von Leonard Euler.

Kommentar von Orsovai ,

Jap, Du hast recht haha

Mein Beitrag ist in der Tat Blödsinn! Sorry!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 33

i ^i = e^(-π/2)  z.B.

Antwort
von clemensw, 40

Nur weil dein TR etwas nicht berechnen kann, bedeutet es noch lange nicht, daß es nicht berechnet werden kann.

Siehe Eulersche Formel

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

und als bekanntesten Spezialfall

e^(i*Pi) = -1

Kommentar von scatha ,

sowie e^(i*tau) = 1 :P
tau ist dabei das Verhältnis von Kreisumfang zu Radius. :P :P

Antwort
von YStoll, 46

das sollte gehen.

Allgemeine i-te Potenz einer reellen Zahl a:

a^i = e^(ln(a)*i) = cos(ln(a))+i*sin(ln(a))


Kommentar von YStoll ,

Allgemeine komplexe Zahl (r * e^(i*phi)) potenziert mit algemeiner komplexer Zahl (a+bi) nach Betrag und Argument:

(r * e^(i*phi))^(a+bi) =: z
= r^(a+bi) * (e^(i*phi))^(a+bi)
= r^a * r^(bi) * e^(i*phi*a-b*phi)
= r^a * e^(-b*phi) * e^((ln(r)*b+phi*a)*i)
=r^a/e^(b*phi) * e^((ln(r)*b+phi*a)*i)

==> abs(z) = r^a/e^(b*phi)
arg(z) = ln(r)*b+phi*a

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