Frage von alienaxx, 26

Wieso kann die dritte Ableitung von f(x) an der Stelle x0 null sein, wenn bei f(x) an der Stelle x0 eine Wendestelle ist?

Hallo,

da die hinreichende Bedingung für Wendestellen ist, dass f(x0) ungleich 0 ist, wie kann es dann sein, dass dennoch manchmal die dritte Ableitung an der Stelle x0 gleich 0 ist? Wendestellen sind ja in der 2. Ableitung Nullstellen, wie kann es dann aber sein, dass trotzdem ab und zu jene Stellen in der dritten Ableitung nochmals null sind?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 18

Eine hinreichende Bedingung ist eben hinreichend;
notwendig ist sie nicht zwangsläufg.
Ohne die notwendige Bedingung, dass eine 2. Ableitung gleich Null sei, kannst du jede hinreichende Bedingung auftischen, du machst den Punkt nicht zum Wendepunkt.

Erst zusammen wird daraus eine exakte Bestimmung.

Denn bei Notwendigkeiten ist es so, dass sie manchmal nicht ausreichen.

Antwort
von Othiz, 21

Du berechnest Wendepunkte mit einer notwendigen und hinreichenden Bedingung. Die notwendige MUSS erfüllt sein, bedeutet alle Wendestellen sind Nullstellen der zweiten Ableitung. Wenn anschließend auch die hinreichende Bedingung erfüllt ist, die Nullstelle also zusätzlich in die 3. Ableitung eingesetzt nicht 0 ergibt, kannst du dir sicher sein, dass es eine Wendestelle ist. Wenn das nicht der Fall ist, muss ein Vorzeichenwechsel überprüft werden. Dazu setzt du Werte knapp kleiner und knapp größer als deine potentielle Wendestelle in die zweite Ableitung ein. Ist eine der beiden positiv und eine negativ, also ein Vorzeichenwechsel stattfindet, so ist es trotzdem eine Wendestelle!

Wenn noch Fragen sind, her damit!

Kommentar von alienaxx ,

Aber wieso ist es möglich, dass trotz Nullstelle der vorherigen Ableitung jener Punkt auch in der dritten Ableitung eine Nullstelle ist? Genau das verstehe ich nicht. Übrigens danke für die ausführliche Erläuterung!

Kommentar von Othiz ,

Es gibt halt einfach Funktionen, bei denen das der Fall ist. Ein einfaches Beispiel ist x^5. Hier ergibt für x=0 jede Ableitung 0, bis zur 5. Ableitung. Trotzdem hat die Funktion bei x=0 eine Wendestelle, obwohl die 3. Ableitung auch 0 ergibt.

Antwort
von lks72, 16

Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle ist f''(x)=0. Desweiteren muss die erste Ableitung an der Stelle, die ungleich 0 ist, eine ungerade Nummer sein, also dritte Ableitung, fünfte Ableitung und so weiter. Dies folgt sehr einfach aus dem Satz von Taylor. Du siehst also, dass f'''<>0 eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung ist, es könnte auch sein, dass erstmals die siebte Ableitung nicht 0 ist, dies wäre zum Beispiel bei x^7 der Fall.

Antwort
von ralphdieter, 20

Die exakte Bedingung für einen Wendepunkt in x₀ lautet:

  f"(x₀)=0 mit Vorzeichenwechsel.

Das heißt, f macht davor eine Linkskurve (f ''(x)>0 für x₀-𝛿<x<x₀) und danach eine Rechtskurve (f ''(x)<0 für x₀<x<x₀+𝛿) oder umgekehrt.

Dieser Vorzeichenwechsel ist Dir zwar sicher, wenn f '' die x-Achse mit einer echt positiven oder negativen Steigung kreuzt (also f '''(x₀)≠0).

Aber wenn sich f '' nur an die x-Achse anschmiegt (also f '''(x₀)=0), dann kann sie danach die Seite wechseln oder wieder auf die selbe Seite zurückkehren. Man muss das eben genauer untersuchen.

Beispiele mit f '''(0)=0:

  • f ''(x)=x² hat keinen Vorzeichenwechsel bei x₀=0 (kommt von oben und haut wieder nach oben ab). f(x)=¹∕₁₂ x⁴ hat also keinen Wendepunkt in x₀=0.
  • f ''(x)=x³ hat einen Vorzeichenwechsel bei x₀=0 (kommt von unten und haut nach oben ab). f(x)=¹∕₂₀ x⁵ hat also einen Wendepunkt in x₀=0.
Antwort
von surbahar53, 26

Eine Wendepunkt bei x ist wie folgt definiert.

f(x) ist an der Stelle x dreimal differenzierbar

f''(x) = 0

f'''(x) != 0

Ist die dritte Ableitung an der Stelle x gleich Null, handelt es sich nicht um einen Wendepunkt.

Kommentar von Othiz ,

Das stimmt nicht, probiere es mal für x^5. 2. Anleitung ist 20x^3, 3. Ableitung ist 60x^2. Wendestelle ist x=0. Diese in f'''(x) eingesetzt ergibt 0. Es ist trotzdem eine Wendestelle.

Kommentar von surbahar53 ,

Die Funktion f(x)=x^5 hat an der Stelle 0 keinen Wendepunkt, sondern einen Terrassenpunkt.

Kommentar von Othiz ,

Terassenpunkte SIND Wendepunkte.

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