Wieso ist P(AnB) = P(B) * P(A|B)?

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3 Antworten

Das nennt sich "Satz von der bedingten Wahrscheinlichkeit". Zum Beweis siehe unter diesem Stichwort.

Wenn wir nichts weiter wissen, als das P(A) = 0,1 und P(B) = 0,3 ist, dann können wir nichts weiter aussagen als dass

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Diese Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich erheblich, wenn A ⊂ B bzw. A ∩ B = ∅ ist.

Wir brauchen also noch weitere Informationen.

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Hallo,

rechne es an einem konkreten Beispiel durch:

Du hast eine Urne mit 10 Kugeln: Eine ist weiß (A), 3 sind schwarz (B) und 6 haben eine andere Farbe (C).

Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen und betrachtest nur die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen oder einer schwarzen Kugel.

Da nur eine von zehn Kugeln weiß ist, ist die Wahrscheinlichkeit, sie beim ersten Mal zu ziehen, 1/10.

Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal eine schwarze zu ziehen, liegt dementsprechend bei 3/10.

Beim zweiten Mal sieht die Sache anders aus, denn es sind nur noch 9 Kugeln im Spiel.

War die erste eine weiße, gibt es keine weiße Kugel mehr im Spiel, somit liegt die Wahrscheinlichkeit, noch eine weiße zu ziehen, bei Null.

Es gibt aber noch drei schwarze Kugeln unter den 9. Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze zu ziehen, ist demnach 3/9=1/3

Die Kombination Weiß und Schwarz trifft also zu 1/10*1/3=1/30 Wahrscheinlichkeit ein.

Das wäre A geschnitten B.

Anders gerechnet:

P(B)*P(A|B)

P(B)=3/10

P(A|B) bedeutet die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die weiße Kugel gezogen wird, wenn zuvor eine schwarze gezogen wurde, also 1/9.

3/10*1/9=1/30

Du kommst also auf das gleiche Ergebnis.

Umgekehrt gilt dies natürlich auch:

P (B∩A)=3/10*1/9=1/30=P(A)*P(B|A)=1/10*3/9=1/30

Herzliche Grüße,

Willy

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ohne genaue Aufgabe, kaum zu beantworten.

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